Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61669 / 40910
↖ ↑ ↗
← N 55.853734°
W 10.621033°		 ← 171.44 m → N 55.853734°
W 10.618286°		 →
↑
171.44 m
↓
↑
171.44 m
↓
N 55.852192°
W 10.621033°		 ← 171.44 m →
29 392 m²		 N 55.852192°
W 10.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470500946044922 y=0.312122344970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470500946044922 × 217)
    floor (0.470500946044922 × 131072)
    floor (61669.5)     		tx = 61669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312122344970703 × 217)
    floor (0.312122344970703 × 131072)
    floor (40910.5)     		ty = 40910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61669 / 40910 ti = "17/61669/40910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61669/40910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61669 ÷ 217
    61669 ÷ 131072     		x = 0.470497131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40910 ÷ 217
    40910 ÷ 131072     		y = 0.312118530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470497131347656 × 2 - 1) × π
    -0.0590057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18537199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312118530273438 × 2 - 1) × π
    0.375762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.1804940900435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18537199} λ = -0.18537199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1804940900435))-π/2
    2×atan(3.25598255408359)-π/2
    2×1.27281393663844-π/2
    2.54562787327687-1.57079632675     		φ = 0.97483155
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18537199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.621033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97483155 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.853734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61669 KachelY 40910 -0.18537199 0.97483155 -10.621033 55.853734
    Oben rechts KachelX + 1 61670 KachelY 40910 -0.18532405 0.97483155 -10.618286 55.853734
    Unten links KachelX 61669 KachelY + 1 40911 -0.18537199 0.97480464 -10.621033 55.852192
    Unten rechts KachelX + 1 61670 KachelY + 1 40911 -0.18532405 0.97480464 -10.618286 55.852192
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97483155-0.97480464) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dl = 171.443609999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97483155-0.97480464) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dr = 171.443609999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18537199--0.18532405) × cos(0.97483155) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561307471970059 × 6371000     		do = 171.437749993971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18537199--0.18532405) × cos(0.97480464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.561329742680547 × 6371000     		du = 171.444552042203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97483155)-sin(0.97480464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561307471970059-0.561329742680547)×R²
    abs(-0.18532405--0.18537199)×2.22707104881037e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22707104881037e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22707104881037e-05×40589641000000     		ar = 29392.4898348843m²