Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61669 / 34616
↖ ↑ ↗
← N 64.406432°
W 10.621033°		 ← 131.94 m → N 64.406432°
W 10.618286°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 64.405245°
W 10.621033°		 ← 131.94 m →
17 409 m²		 N 64.405245°
W 10.618286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470500946044922 y=0.264102935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470500946044922 × 217)
    floor (0.470500946044922 × 131072)
    floor (61669.5)     		tx = 61669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264102935791016 × 217)
    floor (0.264102935791016 × 131072)
    floor (34616.5)     		ty = 34616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61669 / 34616 ti = "17/61669/34616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61669/34616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61669 ÷ 217
    61669 ÷ 131072     		x = 0.470497131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34616 ÷ 217
    34616 ÷ 131072     		y = 0.26409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470497131347656 × 2 - 1) × π
    -0.0590057373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18537199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26409912109375 × 2 - 1) × π
    0.4718017578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18537199} λ = -0.18537199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48220893625214))-π/2
    2×atan(4.40266014325095)-π/2
    2×1.34745030595101-π/2
    2.69490061190202-1.57079632675     		φ = 1.12410429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18537199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.621033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12410429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.406432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61669 KachelY 34616 -0.18537199 1.12410429 -10.621033 64.406432
    Oben rechts KachelX + 1 61670 KachelY 34616 -0.18532405 1.12410429 -10.618286 64.406432
    Unten links KachelX 61669 KachelY + 1 34617 -0.18537199 1.12408358 -10.621033 64.405245
    Unten rechts KachelX + 1 61670 KachelY + 1 34617 -0.18532405 1.12408358 -10.618286 64.405245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12410429-1.12408358) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dl = 131.943410000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12410429-1.12408358) × R
    2.07100000000349e-05 × 6371000     		dr = 131.943410000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18537199--0.18532405) × cos(1.12410429) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		do = 131.939189805558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18537199--0.18532405) × cos(1.12408358) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432003191694985 × 6371000     		du = 131.944894505793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12410429)-sin(1.12408358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431984513831638-0.432003191694985)×R²
    abs(-0.18532405--0.18537199)×1.86778633469165e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86778633469165e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86778633469165e-05×40589641000000     		ar = 17408.8829649457m²