Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61668 / 40908
↖ ↑ ↗
← N 55.856817°
W 10.623779°		 ← 171.42 m → N 55.856817°
W 10.621033°		 →
↑
171.44 m
↓
↑
171.44 m
↓
N 55.855275°
W 10.623779°		 ← 171.43 m →
29 390 m²		 N 55.855275°
W 10.621033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470493316650391 y=0.312107086181641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470493316650391 × 217)
    floor (0.470493316650391 × 131072)
    floor (61668.5)     		tx = 61668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.312107086181641 × 217)
    floor (0.312107086181641 × 131072)
    floor (40908.5)     		ty = 40908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61668 / 40908 ti = "17/61668/40908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61668/40908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61668 ÷ 217
    61668 ÷ 131072     		x = 0.470489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40908 ÷ 217
    40908 ÷ 131072     		y = 0.312103271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.05902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18541993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.312103271484375 × 2 - 1) × π
    0.37579345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18058996384274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18541993} λ = -0.18541993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18058996384274))-π/2
    2×atan(3.25629473246593)-π/2
    2×1.27284084291104-π/2
    2.54568168582208-1.57079632675     		φ = 0.97488536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18541993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97488536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.856817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61668 KachelY 40908 -0.18541993 0.97488536 -10.623779 55.856817
    Oben rechts KachelX + 1 61669 KachelY 40908 -0.18537199 0.97488536 -10.621033 55.856817
    Unten links KachelX 61668 KachelY + 1 40909 -0.18541993 0.97485845 -10.623779 55.855275
    Unten rechts KachelX + 1 61669 KachelY + 1 40909 -0.18537199 0.97485845 -10.621033 55.855275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97488536-0.97485845) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dl = 171.443609999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97488536-0.97485845) × R
    2.69099999999911e-05 × 6371000     		dr = 171.443609999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18541993--0.18537199) × cos(0.97488536) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561262937606065 × 6371000     		do = 171.424148052992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18541993--0.18537199) × cos(0.97485845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561285209129326 × 6371000     		du = 171.430950349465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97488536)-sin(0.97485845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561262937606065-0.561285209129326)×R²
    abs(-0.18537199--0.18541993)×2.22715232605086e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22715232605086e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22715232605086e-05×40589641000000     		ar = 29390.1578902658m²