Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61668 / 40892
↖ ↑ ↗
← N 55.881474°
W 10.623779°		 ← 171.32 m → N 55.881474°
W 10.621033°		 →
↑
171.32 m
↓
↑
171.32 m
↓
N 55.879933°
W 10.623779°		 ← 171.32 m →
29 350 m²		 N 55.879933°
W 10.621033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470493316650391 y=0.311985015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470493316650391 × 217)
    floor (0.470493316650391 × 131072)
    floor (61668.5)     		tx = 61668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311985015869141 × 217)
    floor (0.311985015869141 × 131072)
    floor (40892.5)     		ty = 40892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61668 / 40892 ti = "17/61668/40892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61668/40892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61668 ÷ 217
    61668 ÷ 131072     		x = 0.470489501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40892 ÷ 217
    40892 ÷ 131072     		y = 0.311981201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470489501953125 × 2 - 1) × π
    -0.05902099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18541993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311981201171875 × 2 - 1) × π
    0.37603759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18135695423666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18541993} λ = -0.18541993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18135695423666))-π/2
    2×atan(3.25879323728762)-π/2
    2×1.27305601624334-π/2
    2.54611203248667-1.57079632675     		φ = 0.97531571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18541993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97531571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.881474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61668 KachelY 40892 -0.18541993 0.97531571 -10.623779 55.881474
    Oben rechts KachelX + 1 61669 KachelY 40892 -0.18537199 0.97531571 -10.621033 55.881474
    Unten links KachelX 61668 KachelY + 1 40893 -0.18541993 0.97528882 -10.623779 55.879933
    Unten rechts KachelX + 1 61669 KachelY + 1 40893 -0.18537199 0.97528882 -10.621033 55.879933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97531571-0.97528882) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dl = 171.31619000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97531571-0.97528882) × R
    2.68900000000016e-05 × 6371000     		dr = 171.31619000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18541993--0.18537199) × cos(0.97531571) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560906711823973 × 6371000     		do = 171.31534752989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18541993--0.18537199) × cos(0.97528882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.560928973287849 × 6371000     		du = 171.322146753968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97531571)-sin(0.97528882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.560906711823973-0.560928973287849)×R²
    abs(-0.18537199--0.18541993)×2.22614638764052e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22614638764052e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22614638764052e-05×40589641000000     		ar = 29349.6750376967m²