Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61667 / 76597
↖ ↑ ↗
← S 29.048967°
W 10.626526°		 ← 266.95 m → S 29.048967°
W 10.623779°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.051368°
W 10.626526°		 ← 266.94 m →
71 277 m²		 S 29.051368°
W 10.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470485687255859 y=0.584392547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470485687255859 × 217)
    floor (0.470485687255859 × 131072)
    floor (61667.5)     		tx = 61667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584392547607422 × 217)
    floor (0.584392547607422 × 131072)
    floor (76597.5)     		ty = 76597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61667 / 76597 ti = "17/61667/76597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61667/76597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61667 ÷ 217
    61667 ÷ 131072     		x = 0.470481872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76597 ÷ 217
    76597 ÷ 131072     		y = 0.584388732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470481872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0590362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18546786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584388732910156 × 2 - 1) × π
    -0.168777465820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.530230046697441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18546786} λ = -0.18546786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530230046697441))-π/2
    2×atan(0.588469578622713)-π/2
    2×0.531898106563637-π/2
    1.06379621312727-1.57079632675     		φ = -0.50700011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18546786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.626526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50700011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.048967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61667 KachelY 76597 -0.18546786 -0.50700011 -10.626526 -29.048967
    Oben rechts KachelX + 1 61668 KachelY 76597 -0.18541993 -0.50700011 -10.623779 -29.048967
    Unten links KachelX 61667 KachelY + 1 76598 -0.18546786 -0.50704202 -10.626526 -29.051368
    Unten rechts KachelX + 1 61668 KachelY + 1 76598 -0.18541993 -0.50704202 -10.623779 -29.051368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50700011--0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50700011--0.50704202) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18546786--0.18541993) × cos(-0.50700011) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874205056431009 × 6371000     		do = 266.949030668046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18546786--0.18541993) × cos(-0.50704202) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87418470597289 × 6371000     		du = 266.942816410844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50700011)-sin(-0.50704202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874205056431009-0.87418470597289)×R²
    abs(-0.18541993--0.18546786)×2.03504581188785e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03504581188785e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03504581188785e-05×40589641000000     		ar = 71276.8599998175m²