Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61667 / 40733
↖ ↑ ↗
← N 56.125654°
W 10.626526°		 ← 170.20 m → N 56.125654°
W 10.623779°		 →
↑
170.23 m
↓
↑
170.23 m
↓
N 56.124123°
W 10.626526°		 ← 170.21 m →
28 974 m²		 N 56.124123°
W 10.623779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40733 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470485687255859 y=0.310771942138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470485687255859 × 217)
    floor (0.470485687255859 × 131072)
    floor (61667.5)     		tx = 61667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310771942138672 × 217)
    floor (0.310771942138672 × 131072)
    floor (40733.5)     		ty = 40733
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61667 / 40733 ti = "17/61667/40733"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61667/40733.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61667 ÷ 217
    61667 ÷ 131072     		x = 0.470481872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40733 ÷ 217
    40733 ÷ 131072     		y = 0.310768127441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470481872558594 × 2 - 1) × π
    -0.0590362548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18546786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310768127441406 × 2 - 1) × π
    0.378463745117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.18897892127625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18546786} λ = -0.18546786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18897892127625))-π/2
    2×atan(3.28372655167428)-π/2
    2×1.27518688597564-π/2
    2.55037377195128-1.57079632675     		φ = 0.97957745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18546786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.626526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97957745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.125654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61667 KachelY 40733 -0.18546786 0.97957745 -10.626526 56.125654
    Oben rechts KachelX + 1 61668 KachelY 40733 -0.18541993 0.97957745 -10.623779 56.125654
    Unten links KachelX 61667 KachelY + 1 40734 -0.18546786 0.97955073 -10.626526 56.124123
    Unten rechts KachelX + 1 61668 KachelY + 1 40734 -0.18541993 0.97955073 -10.623779 56.124123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97957745-0.97955073) × R
    2.67199999999246e-05 × 6371000     		dl = 170.23311999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97957745-0.97955073) × R
    2.67199999999246e-05 × 6371000     		dr = 170.23311999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18546786--0.18541993) × cos(0.97957745) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557373423691906 × 6371000     		do = 170.200680126616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18546786--0.18541993) × cos(0.97955073) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557395608091608 × 6371000     		du = 170.207454399943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97957745)-sin(0.97955073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557373423691906-0.557395608091608)×R²
    abs(-0.18541993--0.18546786)×2.21843997021409e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21843997021409e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21843997021409e-05×40589641000000     		ar = 28974.3694084346m²