Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61667 / 12621
↖ ↑ ↗
← N 73.508139°
E158.746948°		 ← 173.41 m → N 73.508139°
E158.752442°		 →
↑
173.42 m
↓
↑
173.42 m
↓
N 73.506580°
E158.746948°		 ← 173.42 m →
30 074 m²		 N 73.506580°
E158.752442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940971374511719 y=0.192588806152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940971374511719 × 216)
    floor (0.940971374511719 × 65536)
    floor (61667.5)     		tx = 61667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192588806152344 × 216)
    floor (0.192588806152344 × 65536)
    floor (12621.5)     		ty = 12621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61667 / 12621 ti = "16/61667/12621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61667/12621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61667 ÷ 216
    61667 ÷ 65536     		x = 0.940963745117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12621 ÷ 216
    12621 ÷ 65536     		y = 0.192581176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940963745117188 × 2 - 1) × π
    0.881927490234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.77065692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192581176757812 × 2 - 1) × π
    0.614837646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93156943329054
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77065692} λ = 2.77065692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93156943329054))-π/2
    2×atan(6.90033135759868)-π/2
    2×1.42687769374106-π/2
    2.85375538748211-1.57079632675     		φ = 1.28295906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77065692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.746948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28295906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.508139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61667 KachelY 12621 2.77065692 1.28295906 158.746948 73.508139
    Oben rechts KachelX + 1 61668 KachelY 12621 2.77075280 1.28295906 158.752442 73.508139
    Unten links KachelX 61667 KachelY + 1 12622 2.77065692 1.28293184 158.746948 73.506580
    Unten rechts KachelX + 1 61668 KachelY + 1 12622 2.77075280 1.28293184 158.752442 73.506580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28295906-1.28293184) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dl = 173.418619999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28295906-1.28293184) × R
    2.72199999999945e-05 × 6371000     		dr = 173.418619999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77065692-2.77075280) × cos(1.28295906) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283879132113935 × 6371000     		do = 173.407987992799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77065692-2.77075280) × cos(1.28293184) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283905232179934 × 6371000     		du = 173.423931256743m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28295906)-sin(1.28293184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283879132113935-0.283905232179934)×R²
    abs(2.77075280-2.77065692)×2.6100065999124e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.6100065999124e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.6100065999124e-05×40589641000000     		ar = 30073.5564059358m²