Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61666 / 40802
↖ ↑ ↗
← N 56.019878°
W 10.629272°		 ← 170.70 m → N 56.019878°
W 10.626526°		 →
↑
170.68 m
↓
↑
170.68 m
↓
N 56.018343°
W 10.629272°		 ← 170.71 m →
29 136 m²		 N 56.018343°
W 10.626526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470478057861328 y=0.311298370361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470478057861328 × 217)
    floor (0.470478057861328 × 131072)
    floor (61666.5)     		tx = 61666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311298370361328 × 217)
    floor (0.311298370361328 × 131072)
    floor (40802.5)     		ty = 40802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61666 / 40802 ti = "17/61666/40802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61666/40802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61666 ÷ 217
    61666 ÷ 131072     		x = 0.470474243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40802 ÷ 217
    40802 ÷ 131072     		y = 0.311294555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470474243164062 × 2 - 1) × π
    -0.059051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18551580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.311294555664062 × 2 - 1) × π
    0.377410888671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18567127520247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18551580} λ = -0.18551580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18567127520247))-π/2
    2×atan(3.2728830894919)-π/2
    2×1.27426382259998-π/2
    2.54852764519995-1.57079632675     		φ = 0.97773132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18551580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.629272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97773132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.019878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61666 KachelY 40802 -0.18551580 0.97773132 -10.629272 56.019878
    Oben rechts KachelX + 1 61667 KachelY 40802 -0.18546786 0.97773132 -10.626526 56.019878
    Unten links KachelX 61666 KachelY + 1 40803 -0.18551580 0.97770453 -10.629272 56.018343
    Unten rechts KachelX + 1 61667 KachelY + 1 40803 -0.18546786 0.97770453 -10.626526 56.018343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97773132-0.97770453) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dl = 170.679089999638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97773132-0.97770453) × R
    2.67899999999432e-05 × 6371000     		dr = 170.679089999638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18551580--0.18546786) × cos(0.97773132) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558905244452913 × 6371000     		do = 170.704047876899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18551580--0.18546786) × cos(0.97770453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.558927459364993 × 6371000     		du = 170.71083288286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97773132)-sin(0.97770453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558905244452913-0.558927459364993)×R²
    abs(-0.18546786--0.18551580)×2.22149120793214e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22149120793214e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22149120793214e-05×40589641000000     		ar = 29136.1905817757m²