Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61666 / 34030
↖ ↑ ↗
← N 65.092959°
W 10.629272°		 ← 128.63 m → N 65.092959°
W 10.626526°		 →
↑
128.63 m
↓
↑
128.63 m
↓
N 65.091803°
W 10.629272°		 ← 128.63 m →
16 546 m²		 N 65.091803°
W 10.626526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470478057861328 y=0.259632110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470478057861328 × 217)
    floor (0.470478057861328 × 131072)
    floor (61666.5)     		tx = 61666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259632110595703 × 217)
    floor (0.259632110595703 × 131072)
    floor (34030.5)     		ty = 34030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61666 / 34030 ti = "17/61666/34030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61666/34030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61666 ÷ 217
    61666 ÷ 131072     		x = 0.470474243164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34030 ÷ 217
    34030 ÷ 131072     		y = 0.259628295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470474243164062 × 2 - 1) × π
    -0.059051513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18551580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259628295898438 × 2 - 1) × π
    0.480743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.51029995942949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18551580} λ = -0.18551580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51029995942949))-π/2
    2×atan(4.52808883356892)-π/2
    2×1.35344139159299-π/2
    2.70688278318598-1.57079632675     		φ = 1.13608646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18551580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.629272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13608646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.092959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61666 KachelY 34030 -0.18551580 1.13608646 -10.629272 65.092959
    Oben rechts KachelX + 1 61667 KachelY 34030 -0.18546786 1.13608646 -10.626526 65.092959
    Unten links KachelX 61666 KachelY + 1 34031 -0.18551580 1.13606627 -10.629272 65.091803
    Unten rechts KachelX + 1 61667 KachelY + 1 34031 -0.18546786 1.13606627 -10.626526 65.091803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13608646-1.13606627) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dl = 128.630490000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13608646-1.13606627) × R
    2.01900000000865e-05 × 6371000     		dr = 128.630490000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18551580--0.18546786) × cos(1.13608646) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421147270521765 × 6371000     		do = 128.62921674808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18551580--0.18546786) × cos(1.13606627) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421165582609843 × 6371000     		du = 128.634809731133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13608646)-sin(1.13606627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421147270521765-0.421165582609843)×R²
    abs(-0.18546786--0.18551580)×1.83120880781762e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83120880781762e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83120880781762e-05×40589641000000     		ar = 16545.9988932066m²