Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61666 / 12579
↖ ↑ ↗
← N 73.573508°
E158.741455°		 ← 172.72 m → N 73.573508°
E158.746948°		 →
↑
172.72 m
↓
↑
172.72 m
↓
N 73.571954°
E158.741455°		 ← 172.74 m →
29 833 m²		 N 73.571954°
E158.746948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940956115722656 y=0.191947937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940956115722656 × 216)
    floor (0.940956115722656 × 65536)
    floor (61666.5)     		tx = 61666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191947937011719 × 216)
    floor (0.191947937011719 × 65536)
    floor (12579.5)     		ty = 12579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61666 / 12579 ti = "16/61666/12579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61666/12579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61666 ÷ 216
    61666 ÷ 65536     		x = 0.940948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12579 ÷ 216
    12579 ÷ 65536     		y = 0.191940307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940948486328125 × 2 - 1) × π
    0.88189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.77056105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.191940307617188 × 2 - 1) × π
    0.616119384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93559613285863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.77056105} λ = 2.77056105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93559613285863))-π/2
    2×atan(6.92817293611273)-π/2
    2×1.42744813963866-π/2
    2.85489627927733-1.57079632675     		φ = 1.28409995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.77056105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.741455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28409995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.573508°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61666 KachelY 12579 2.77056105 1.28409995 158.741455 73.573508
    Oben rechts KachelX + 1 61667 KachelY 12579 2.77065692 1.28409995 158.746948 73.573508
    Unten links KachelX 61666 KachelY + 1 12580 2.77056105 1.28407284 158.741455 73.571954
    Unten rechts KachelX + 1 61667 KachelY + 1 12580 2.77065692 1.28407284 158.746948 73.571954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28409995-1.28407284) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dl = 172.71780999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28409995-1.28407284) × R
    2.71099999999969e-05 × 6371000     		dr = 172.71780999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.77056105-2.77065692) × cos(1.28409995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282784993730534 × 6371000     		do = 172.721615710133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.77056105-2.77065692) × cos(1.28407284) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282810997086504 × 6371000     		du = 172.737498241938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28409995)-sin(1.28407284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282784993730534-0.282810997086504)×R²
    abs(2.77065692-2.77056105)×2.60033559694728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60033559694728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60033559694728e-05×40589641000000     		ar = 29833.4708051577m²