Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61663 / 33695
↖ ↑ ↗
← N 65.477648°
W 10.637512°		 ← 126.74 m → N 65.477648°
W 10.634766°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 65.476508°
W 10.637512°		 ← 126.75 m →
16 069 m²		 N 65.476508°
W 10.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470455169677734 y=0.257076263427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470455169677734 × 217)
    floor (0.470455169677734 × 131072)
    floor (61663.5)     		tx = 61663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257076263427734 × 217)
    floor (0.257076263427734 × 131072)
    floor (33695.5)     		ty = 33695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61663 / 33695 ti = "17/61663/33695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61663/33695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61663 ÷ 217
    61663 ÷ 131072     		x = 0.470451354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33695 ÷ 217
    33695 ÷ 131072     		y = 0.257072448730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470451354980469 × 2 - 1) × π
    -0.0590972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18565961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257072448730469 × 2 - 1) × π
    0.485855102539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.52635882080221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18565961} λ = -0.18565961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52635882080221))-π/2
    2×atan(4.60139179012262)-π/2
    2×1.35679843150434-π/2
    2.71359686300868-1.57079632675     		φ = 1.14280054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18565961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.637512°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14280054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.477648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61663 KachelY 33695 -0.18565961 1.14280054 -10.637512 65.477648
    Oben rechts KachelX + 1 61664 KachelY 33695 -0.18561168 1.14280054 -10.634766 65.477648
    Unten links KachelX 61663 KachelY + 1 33696 -0.18565961 1.14278064 -10.637512 65.476508
    Unten rechts KachelX + 1 61664 KachelY + 1 33696 -0.18561168 1.14278064 -10.634766 65.476508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14280054-1.14278064) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14280054-1.14278064) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18565961--0.18561168) × cos(1.14280054) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415048205232606 × 6371000     		do = 126.739962497689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18565961--0.18561168) × cos(1.14278064) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.415066310158911 × 6371000     		du = 126.745491054739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14280054)-sin(1.14278064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415048205232606-0.415066310158911)×R²
    abs(-0.18561168--0.18565961)×1.81049263047739e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81049263047739e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81049263047739e-05×40589641000000     		ar = 16068.8104553256m²