Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61662 / 34042
↖ ↑ ↗
← N 65.079075°
W 10.640259°		 ← 128.70 m → N 65.079075°
W 10.637512°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 65.077917°
W 10.640259°		 ← 128.70 m →
16 563 m²		 N 65.077917°
W 10.637512°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470447540283203 y=0.259723663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470447540283203 × 217)
    floor (0.470447540283203 × 131072)
    floor (61662.5)     		tx = 61662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259723663330078 × 217)
    floor (0.259723663330078 × 131072)
    floor (34042.5)     		ty = 34042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61662 / 34042 ti = "17/61662/34042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61662/34042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61662 ÷ 217
    61662 ÷ 131072     		x = 0.470443725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34042 ÷ 217
    34042 ÷ 131072     		y = 0.259719848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470443725585938 × 2 - 1) × π
    -0.059112548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18570755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259719848632812 × 2 - 1) × π
    0.480560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50972471663405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18570755} λ = -0.18570755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50972471663405))-π/2
    2×atan(4.52548483212864)-π/2
    2×1.35332022902166-π/2
    2.70664045804333-1.57079632675     		φ = 1.13584413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18570755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.640259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13584413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.079075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61662 KachelY 34042 -0.18570755 1.13584413 -10.640259 65.079075
    Oben rechts KachelX + 1 61663 KachelY 34042 -0.18565961 1.13584413 -10.637512 65.079075
    Unten links KachelX 61662 KachelY + 1 34043 -0.18570755 1.13582393 -10.640259 65.077917
    Unten rechts KachelX + 1 61663 KachelY + 1 34043 -0.18565961 1.13582393 -10.637512 65.077917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13584413-1.13582393) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dl = 128.694200000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13584413-1.13582393) × R
    2.02000000000258e-05 × 6371000     		dr = 128.694200000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18570755--0.18565961) × cos(1.13584413) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421367049590538 × 6371000     		do = 128.696342932797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18570755--0.18565961) × cos(1.13582393) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.421385368686328 × 6371000     		du = 128.701938056185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13584413)-sin(1.13582393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421367049590538-0.421385368686328)×R²
    abs(-0.18565961--0.18570755)×1.83190957893098e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.83190957893098e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.83190957893098e-05×40589641000000     		ar = 16562.8329273327m²