Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61660 / 33846
↖ ↑ ↗
← N 65.304945°
W 10.645752°		 ← 127.58 m → N 65.304945°
W 10.643006°		 →
↑
127.61 m
↓
↑
127.61 m
↓
N 65.303797°
W 10.645752°		 ← 127.58 m →
16 281 m²		 N 65.303797°
W 10.643006°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470432281494141 y=0.258228302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470432281494141 × 217)
    floor (0.470432281494141 × 131072)
    floor (61660.5)     		tx = 61660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258228302001953 × 217)
    floor (0.258228302001953 × 131072)
    floor (33846.5)     		ty = 33846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61660 / 33846 ti = "17/61660/33846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61660/33846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61660 ÷ 217
    61660 ÷ 131072     		x = 0.470428466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33846 ÷ 217
    33846 ÷ 131072     		y = 0.258224487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470428466796875 × 2 - 1) × π
    -0.05914306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18580342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258224487304688 × 2 - 1) × π
    0.483551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51912034895958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18580342} λ = -0.18580342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51912034895958))-π/2
    2×atan(4.56820500093545)-π/2
    2×1.35529131924903-π/2
    2.71058263849806-1.57079632675     		φ = 1.13978631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18580342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.645752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13978631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.304945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61660 KachelY 33846 -0.18580342 1.13978631 -10.645752 65.304945
    Oben rechts KachelX + 1 61661 KachelY 33846 -0.18575549 1.13978631 -10.643006 65.304945
    Unten links KachelX 61660 KachelY + 1 33847 -0.18580342 1.13976628 -10.645752 65.303797
    Unten rechts KachelX + 1 61661 KachelY + 1 33847 -0.18575549 1.13976628 -10.643006 65.303797
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13978631-1.13976628) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dl = 127.611130001088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13978631-1.13976628) × R
    2.00300000001707e-05 × 6371000     		dr = 127.611130001088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18580342--0.18575549) × cos(1.13978631) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.41778866031427 × 6371000     		do = 127.57679342455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18580342--0.18575549) × cos(1.13976628) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.417806858371579 × 6371000     		du = 127.582350420272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13978631)-sin(1.13976628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41778866031427-0.417806858371579)×R²
    abs(-0.18575549--0.18580342)×1.81980573095708e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.81980573095708e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.81980573095708e-05×40589641000000     		ar = 16280.5733386439m²