Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61659 / 33855
↖ ↑ ↗
← N 65.294616°
W 10.648499°		 ← 127.65 m → N 65.294616°
W 10.645752°		 →
↑
127.67 m
↓
↑
127.67 m
↓
N 65.293468°
W 10.648499°		 ← 127.66 m →
16 298 m²		 N 65.293468°
W 10.645752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470424652099609 y=0.258296966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470424652099609 × 217)
    floor (0.470424652099609 × 131072)
    floor (61659.5)     		tx = 61659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.258296966552734 × 217)
    floor (0.258296966552734 × 131072)
    floor (33855.5)     		ty = 33855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61659 / 33855 ti = "17/61659/33855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61659/33855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61659 ÷ 217
    61659 ÷ 131072     		x = 0.470420837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33855 ÷ 217
    33855 ÷ 131072     		y = 0.258293151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470420837402344 × 2 - 1) × π
    -0.0591583251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18585136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.258293151855469 × 2 - 1) × π
    0.483413696289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.518688916863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18585136} λ = -0.18585136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.518688916863))-π/2
    2×atan(4.5662345557615)-π/2
    2×1.35520117786559-π/2
    2.71040235573119-1.57079632675     		φ = 1.13960603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18585136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.648499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13960603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.294616°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61659 KachelY 33855 -0.18585136 1.13960603 -10.648499 65.294616
    Oben rechts KachelX + 1 61660 KachelY 33855 -0.18580342 1.13960603 -10.645752 65.294616
    Unten links KachelX 61659 KachelY + 1 33856 -0.18585136 1.13958599 -10.648499 65.293468
    Unten rechts KachelX + 1 61660 KachelY + 1 33856 -0.18580342 1.13958599 -10.645752 65.293468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13960603-1.13958599) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dl = 127.674839999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13960603-1.13958599) × R
    2.00399999998879e-05 × 6371000     		dr = 127.674839999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18585136--0.18580342) × cos(1.13960603) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417952445879649 × 6371000     		do = 127.653435067592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18585136--0.18580342) × cos(1.13958599) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.417970651512596 × 6371000     		du = 127.658995536507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13960603)-sin(1.13958599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417952445879649-0.417970651512596)×R²
    abs(-0.18580342--0.18585136)×1.82056329476876e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82056329476876e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82056329476876e-05×40589641000000     		ar = 16298.4868642307m²