Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 61659 / 12599
↖ ↑ ↗
← N 73.542411°
E158.703003°		 ← 173.06 m → N 73.542411°
E158.708496°		 →
↑
173.04 m
↓
↑
173.04 m
↓
N 73.540855°
E158.703003°		 ← 173.07 m →
29 947 m²		 N 73.540855°
E158.708496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940849304199219 y=0.192253112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940849304199219 × 216)
    floor (0.940849304199219 × 65536)
    floor (61659.5)     		tx = 61659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192253112792969 × 216)
    floor (0.192253112792969 × 65536)
    floor (12599.5)     		ty = 12599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61659 / 12599 ti = "16/61659/12599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61659/12599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61659 ÷ 216
    61659 ÷ 65536     		x = 0.940841674804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12599 ÷ 216
    12599 ÷ 65536     		y = 0.192245483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940841674804688 × 2 - 1) × π
    0.881683349609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.76988993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192245483398438 × 2 - 1) × π
    0.615509033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93367865687383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76988993} λ = 2.76988993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93367865687383))-π/2
    2×atan(6.91490105920821)-π/2
    2×1.42717677346375-π/2
    2.8543535469275-1.57079632675     		φ = 1.28355722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76988993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.703003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28355722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.542411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61659 KachelY 12599 2.76988993 1.28355722 158.703003 73.542411
    Oben rechts KachelX + 1 61660 KachelY 12599 2.76998581 1.28355722 158.708496 73.542411
    Unten links KachelX 61659 KachelY + 1 12600 2.76988993 1.28353006 158.703003 73.540855
    Unten rechts KachelX + 1 61660 KachelY + 1 12600 2.76998581 1.28353006 158.708496 73.540855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28355722-1.28353006) × R
    2.71600000001371e-05 × 6371000     		dl = 173.036360000873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28355722-1.28353006) × R
    2.71600000001371e-05 × 6371000     		dr = 173.036360000873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76988993-2.76998581) × cos(1.28355722) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283305529621939 × 6371000     		do = 173.057602061632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76988993-2.76998581) × cos(1.28353006) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283331576764258 × 6371000     		du = 173.073512997067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28355722)-sin(1.28353006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283305529621939-0.283331576764258)×R²
    abs(2.76998581-2.76988993)×2.60471423180753e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.60471423180753e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.60471423180753e-05×40589641000000     		ar = 29946.6341181859m²