Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61658 / 40718
↖ ↑ ↗
← N 56.148610°
W 10.651245°		 ← 170.13 m → N 56.148610°
W 10.648499°		 →
↑
170.17 m
↓
↑
170.17 m
↓
N 56.147079°
W 10.651245°		 ← 170.14 m →
28 952 m²		 N 56.147079°
W 10.648499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470417022705078 y=0.310657501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470417022705078 × 217)
    floor (0.470417022705078 × 131072)
    floor (61658.5)     		tx = 61658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310657501220703 × 217)
    floor (0.310657501220703 × 131072)
    floor (40718.5)     		ty = 40718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61658 / 40718 ti = "17/61658/40718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61658/40718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61658 ÷ 217
    61658 ÷ 131072     		x = 0.470413208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40718 ÷ 217
    40718 ÷ 131072     		y = 0.310653686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470413208007812 × 2 - 1) × π
    -0.059173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18589930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310653686523438 × 2 - 1) × π
    0.378692626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.18969797477055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18589930} λ = -0.18589930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18969797477055))-π/2
    2×atan(3.28608857583468)-π/2
    2×1.27538721682071-π/2
    2.55077443364142-1.57079632675     		φ = 0.97997811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18589930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97997811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.148610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61658 KachelY 40718 -0.18589930 0.97997811 -10.651245 56.148610
    Oben rechts KachelX + 1 61659 KachelY 40718 -0.18585136 0.97997811 -10.648499 56.148610
    Unten links KachelX 61658 KachelY + 1 40719 -0.18589930 0.97995140 -10.651245 56.147079
    Unten rechts KachelX + 1 61659 KachelY + 1 40719 -0.18585136 0.97995140 -10.648499 56.147079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97997811-0.97995140) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dl = 170.169409999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97997811-0.97995140) × R
    2.67099999999854e-05 × 6371000     		dr = 170.169409999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18589930--0.18585136) × cos(0.97997811) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557040726220201 × 6371000     		do = 170.134576015929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18589930--0.18585136) × cos(0.97995140) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.557062908280575 × 6371000     		du = 170.141350988134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97997811)-sin(0.97995140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557040726220201-0.557062908280575)×R²
    abs(-0.18585136--0.18589930)×2.21820603737433e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21820603737433e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21820603737433e-05×40589641000000     		ar = 28952.2768694057m²