Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61658 / 33697
↖ ↑ ↗
← N 65.475367°
W 10.651245°		 ← 126.78 m → N 65.475367°
W 10.648499°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 65.474227°
W 10.651245°		 ← 126.78 m →
16 074 m²		 N 65.474227°
W 10.648499°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33697 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470417022705078 y=0.257091522216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470417022705078 × 217)
    floor (0.470417022705078 × 131072)
    floor (61658.5)     		tx = 61658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257091522216797 × 217)
    floor (0.257091522216797 × 131072)
    floor (33697.5)     		ty = 33697
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61658 / 33697 ti = "17/61658/33697"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61658/33697.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61658 ÷ 217
    61658 ÷ 131072     		x = 0.470413208007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33697 ÷ 217
    33697 ÷ 131072     		y = 0.257087707519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470413208007812 × 2 - 1) × π
    -0.059173583984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18589930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257087707519531 × 2 - 1) × π
    0.485824584960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.52626294700297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18589930} λ = -0.18589930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52626294700297))-π/2
    2×atan(4.60095065835673)-π/2
    2×1.35677853451227-π/2
    2.71355706902455-1.57079632675     		φ = 1.14276074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18589930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.651245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14276074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.475367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61658 KachelY 33697 -0.18589930 1.14276074 -10.651245 65.475367
    Oben rechts KachelX + 1 61659 KachelY 33697 -0.18585136 1.14276074 -10.648499 65.475367
    Unten links KachelX 61658 KachelY + 1 33698 -0.18589930 1.14274084 -10.651245 65.474227
    Unten rechts KachelX + 1 61659 KachelY + 1 33698 -0.18585136 1.14274084 -10.648499 65.474227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14276074-1.14274084) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dl = 126.782899999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14276074-1.14274084) × R
    1.98999999998506e-05 × 6371000     		dr = 126.782899999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18589930--0.18585136) × cos(1.14276074) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415084414920845 × 6371000     		do = 126.777464589657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18589930--0.18585136) × cos(1.14274084) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415102519518402 × 6371000     		du = 126.782994199763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14276074)-sin(1.14274084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415084414920845-0.415102519518402)×R²
    abs(-0.18585136--0.18589930)×1.81045975566341e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81045975566341e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81045975566341e-05×40589641000000     		ar = 16073.565145562m²