Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61655 / 76698
↖ ↑ ↗
← S 29.291190°
W 10.659485°		 ← 266.38 m → S 29.291190°
W 10.656738°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.293585°
W 10.659485°		 ← 266.37 m →
70 954 m²		 S 29.293585°
W 10.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470394134521484 y=0.585163116455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470394134521484 × 217)
    floor (0.470394134521484 × 131072)
    floor (61655.5)     		tx = 61655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585163116455078 × 217)
    floor (0.585163116455078 × 131072)
    floor (76698.5)     		ty = 76698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61655 / 76698 ti = "17/61655/76698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61655/76698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61655 ÷ 217
    61655 ÷ 131072     		x = 0.470390319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76698 ÷ 217
    76698 ÷ 131072     		y = 0.585159301757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470390319824219 × 2 - 1) × π
    -0.0592193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18604311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585159301757812 × 2 - 1) × π
    -0.170318603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.535071673559067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18604311} λ = -0.18604311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.535071673559067))-π/2
    2×atan(0.585627314646618)-π/2
    2×0.529784311152602-π/2
    1.0595686223052-1.57079632675     		φ = -0.51122770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18604311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.659485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51122770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.291190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61655 KachelY 76698 -0.18604311 -0.51122770 -10.659485 -29.291190
    Oben rechts KachelX + 1 61656 KachelY 76698 -0.18599517 -0.51122770 -10.656738 -29.291190
    Unten links KachelX 61655 KachelY + 1 76699 -0.18604311 -0.51126951 -10.659485 -29.293585
    Unten rechts KachelX + 1 61656 KachelY + 1 76699 -0.18599517 -0.51126951 -10.656738 -29.293585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51122770--0.51126951) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51122770--0.51126951) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18604311--0.18599517) × cos(-0.51122770) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		do = 266.375383841091m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18604311--0.18599517) × cos(-0.51126951) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.872124058633821 × 6371000     		du = 266.369135980172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51122770)-sin(-0.51126951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872144514869497-0.872124058633821)×R²
    abs(-0.18599517--0.18604311)×2.04562356757032e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04562356757032e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04562356757032e-05×40589641000000     		ar = 70953.9811049169m²