Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61655 / 40743
↖ ↑ ↗
← N 56.110341°
W 10.659485°		 ← 170.30 m → N 56.110341°
W 10.656738°		 →
↑
170.30 m
↓
↑
170.30 m
↓
N 56.108810°
W 10.659485°		 ← 170.31 m →
29 003 m²		 N 56.108810°
W 10.656738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470394134521484 y=0.310848236083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470394134521484 × 217)
    floor (0.470394134521484 × 131072)
    floor (61655.5)     		tx = 61655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310848236083984 × 217)
    floor (0.310848236083984 × 131072)
    floor (40743.5)     		ty = 40743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61655 / 40743 ti = "17/61655/40743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61655/40743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61655 ÷ 217
    61655 ÷ 131072     		x = 0.470390319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40743 ÷ 217
    40743 ÷ 131072     		y = 0.310844421386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470390319824219 × 2 - 1) × π
    -0.0592193603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18604311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310844421386719 × 2 - 1) × π
    0.378311157226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.18849955228005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18604311} λ = -0.18604311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18849955228005))-π/2
    2×atan(3.2821528122045)-π/2
    2×1.27505326561815-π/2
    2.55010653123629-1.57079632675     		φ = 0.97931020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18604311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.659485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97931020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.110341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61655 KachelY 40743 -0.18604311 0.97931020 -10.659485 56.110341
    Oben rechts KachelX + 1 61656 KachelY 40743 -0.18599517 0.97931020 -10.656738 56.110341
    Unten links KachelX 61655 KachelY + 1 40744 -0.18604311 0.97928347 -10.659485 56.108810
    Unten rechts KachelX + 1 61656 KachelY + 1 40744 -0.18599517 0.97928347 -10.656738 56.108810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97931020-0.97928347) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dl = 170.29682999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97931020-0.97928347) × R
    2.67299999999748e-05 × 6371000     		dr = 170.29682999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18604311--0.18599517) × cos(0.97931020) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557595291284597 × 6371000     		do = 170.303954461199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18604311--0.18599517) × cos(0.97928347) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557617480004249 × 6371000     		du = 170.310731467319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97931020)-sin(0.97928347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557595291284597-0.557617480004249)×R²
    abs(-0.18599517--0.18604311)×2.21887196520942e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21887196520942e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21887196520942e-05×40589641000000     		ar = 29002.8006342462m²