Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61650 / 40719
↖ ↑ ↗
← N 56.147079°
W 10.673218°		 ← 170.11 m → N 56.147079°
W 10.670471°		 →
↑
170.11 m
↓
↑
170.11 m
↓
N 56.145550°
W 10.673218°		 ← 170.11 m →
28 937 m²		 N 56.145550°
W 10.670471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470355987548828 y=0.310665130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470355987548828 × 217)
    floor (0.470355987548828 × 131072)
    floor (61650.5)     		tx = 61650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310665130615234 × 217)
    floor (0.310665130615234 × 131072)
    floor (40719.5)     		ty = 40719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61650 / 40719 ti = "17/61650/40719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61650/40719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61650 ÷ 217
    61650 ÷ 131072     		x = 0.470352172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40719 ÷ 217
    40719 ÷ 131072     		y = 0.310661315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470352172851562 × 2 - 1) × π
    -0.059295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18628279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310661315917969 × 2 - 1) × π
    0.378677368164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.18965003787093
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18628279} λ = -0.18628279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18965003787093))-π/2
    2×atan(3.28593105471205)-π/2
    2×1.27537386515219-π/2
    2.55074773030439-1.57079632675     		φ = 0.97995140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18628279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97995140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.147079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61650 KachelY 40719 -0.18628279 0.97995140 -10.673218 56.147079
    Oben rechts KachelX + 1 61651 KachelY 40719 -0.18623486 0.97995140 -10.670471 56.147079
    Unten links KachelX 61650 KachelY + 1 40720 -0.18628279 0.97992470 -10.673218 56.145550
    Unten rechts KachelX + 1 61651 KachelY + 1 40720 -0.18623486 0.97992470 -10.670471 56.145550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97995140-0.97992470) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dl = 170.105700000294m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97995140-0.97992470) × R
    2.67000000000461e-05 × 6371000     		dr = 170.105700000294m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18628279--0.18623486) × cos(0.97995140) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557062908280575 × 6371000     		do = 170.105860510266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18628279--0.18623486) × cos(0.97992470) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.557085081638972 × 6371000     		du = 170.112631411998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97995140)-sin(0.97992470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557062908280575-0.557085081638972)×R²
    abs(-0.18623486--0.18628279)×2.21733583974926e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21733583974926e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21733583974926e-05×40589641000000     		ar = 28936.5523624757m²