Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61650 / 40666
↖ ↑ ↗
← N 56.228085°
W 10.673218°		 ← 169.75 m → N 56.228085°
W 10.670471°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.226558°
W 10.673218°		 ← 169.75 m →
28 821 m²		 N 56.226558°
W 10.670471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470355987548828 y=0.310260772705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470355987548828 × 217)
    floor (0.470355987548828 × 131072)
    floor (61650.5)     		tx = 61650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310260772705078 × 217)
    floor (0.310260772705078 × 131072)
    floor (40666.5)     		ty = 40666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61650 / 40666 ti = "17/61650/40666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61650/40666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61650 ÷ 217
    61650 ÷ 131072     		x = 0.470352172851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40666 ÷ 217
    40666 ÷ 131072     		y = 0.310256958007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470352172851562 × 2 - 1) × π
    -0.059295654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18628279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310256958007812 × 2 - 1) × π
    0.379486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1921906935508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18628279} λ = -0.18628279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1921906935508))-π/2
    2×atan(3.29429008832654)-π/2
    2×1.27608077140678-π/2
    2.55216154281355-1.57079632675     		φ = 0.98136522
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18628279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.673218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98136522 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.228085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61650 KachelY 40666 -0.18628279 0.98136522 -10.673218 56.228085
    Oben rechts KachelX + 1 61651 KachelY 40666 -0.18623486 0.98136522 -10.670471 56.228085
    Unten links KachelX 61650 KachelY + 1 40667 -0.18628279 0.98133857 -10.673218 56.226558
    Unten rechts KachelX + 1 61651 KachelY + 1 40667 -0.18623486 0.98133857 -10.670471 56.226558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98136522-0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98136522-0.98133857) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18628279--0.18623486) × cos(0.98136522) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555888216401905 × 6371000     		do = 169.74715421357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18628279--0.18623486) × cos(0.98133857) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555910369205006 × 6371000     		du = 169.753918838496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98136522)-sin(0.98133857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555888216401905-0.555910369205006)×R²
    abs(-0.18623486--0.18628279)×2.21528031010276e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21528031010276e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21528031010276e-05×40589641000000     		ar = 28821.4598095811m²