Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61644 / 34577
↖ ↑ ↗
← N 64.452665°
W 10.689697°		 ← 131.69 m → N 64.452665°
W 10.686951°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 64.451480°
W 10.689697°		 ← 131.70 m →
17 351 m²		 N 64.451480°
W 10.686951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470310211181641 y=0.263805389404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470310211181641 × 217)
    floor (0.470310211181641 × 131072)
    floor (61644.5)     		tx = 61644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263805389404297 × 217)
    floor (0.263805389404297 × 131072)
    floor (34577.5)     		ty = 34577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61644 / 34577 ti = "17/61644/34577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61644/34577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61644 ÷ 217
    61644 ÷ 131072     		x = 0.470306396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34577 ÷ 217
    34577 ÷ 131072     		y = 0.263801574707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470306396484375 × 2 - 1) × π
    -0.05938720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18657041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263801574707031 × 2 - 1) × π
    0.472396850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.48407847533732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18657041} λ = -0.18657041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48407847533732))-π/2
    2×atan(4.41089878730144)-π/2
    2×1.34785377163999-π/2
    2.69570754327998-1.57079632675     		φ = 1.12491122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18657041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.689697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12491122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.452665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61644 KachelY 34577 -0.18657041 1.12491122 -10.689697 64.452665
    Oben rechts KachelX + 1 61645 KachelY 34577 -0.18652248 1.12491122 -10.686951 64.452665
    Unten links KachelX 61644 KachelY + 1 34578 -0.18657041 1.12489054 -10.689697 64.451480
    Unten rechts KachelX + 1 61645 KachelY + 1 34578 -0.18652248 1.12489054 -10.686951 64.451480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12491122-1.12489054) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12491122-1.12489054) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18657041--0.18652248) × cos(1.12491122) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.431256618416322 × 6371000     		do = 131.689396450548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18657041--0.18652248) × cos(1.12489054) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.43127527642625 × 6371000     		du = 131.695093898335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12491122)-sin(1.12489054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431256618416322-0.43127527642625)×R²
    abs(-0.18652248--0.18657041)×1.86580099276745e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86580099276745e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86580099276745e-05×40589641000000     		ar = 17350.7535607201m²