Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61642 / 34050
↖ ↑ ↗
← N 65.069815°
W 10.695191°		 ← 128.74 m → N 65.069815°
W 10.692444°		 →
↑
128.76 m
↓
↑
128.76 m
↓
N 65.068657°
W 10.695191°		 ← 128.75 m →
16 577 m²		 N 65.068657°
W 10.692444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470294952392578 y=0.259784698486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470294952392578 × 217)
    floor (0.470294952392578 × 131072)
    floor (61642.5)     		tx = 61642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259784698486328 × 217)
    floor (0.259784698486328 × 131072)
    floor (34050.5)     		ty = 34050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61642 / 34050 ti = "17/61642/34050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61642/34050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61642 ÷ 217
    61642 ÷ 131072     		x = 0.470291137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34050 ÷ 217
    34050 ÷ 131072     		y = 0.259780883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470291137695312 × 2 - 1) × π
    -0.059417724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18666629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259780883789062 × 2 - 1) × π
    0.480438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50934122143709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18666629} λ = -0.18666629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50934122143709))-π/2
    2×atan(4.52374966316735)-π/2
    2×1.35323941885081-π/2
    2.70647883770161-1.57079632675     		φ = 1.13568251
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18666629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.695191°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13568251 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.069815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61642 KachelY 34050 -0.18666629 1.13568251 -10.695191 65.069815
    Oben rechts KachelX + 1 61643 KachelY 34050 -0.18661835 1.13568251 -10.692444 65.069815
    Unten links KachelX 61642 KachelY + 1 34051 -0.18666629 1.13566230 -10.695191 65.068657
    Unten rechts KachelX + 1 61643 KachelY + 1 34051 -0.18661835 1.13566230 -10.692444 65.068657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13568251-1.13566230) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dl = 128.757910001192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13568251-1.13566230) × R
    2.0210000000187e-05 × 6371000     		dr = 128.757910001192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18666629--0.18661835) × cos(1.13568251) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421513615678497 × 6371000     		do = 128.741107988745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18666629--0.18661835) × cos(1.13566230) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.421531942466506 × 6371000     		du = 128.746705461535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13568251)-sin(1.13566230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421513615678497-0.421531942466506)×R²
    abs(-0.18661835--0.18666629)×1.83267880087823e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.83267880087823e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.83267880087823e-05×40589641000000     		ar = 16576.7963559671m²