Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61641 / 76221
↖ ↑ ↗
← S 28.142238°
W 10.697937°		 ← 269.26 m → S 28.142238°
W 10.695191°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 28.144660°
W 10.697937°		 ← 269.26 m →
72 512 m²		 S 28.144660°
W 10.695191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470287322998047 y=0.581523895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470287322998047 × 217)
    floor (0.470287322998047 × 131072)
    floor (61641.5)     		tx = 61641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581523895263672 × 217)
    floor (0.581523895263672 × 131072)
    floor (76221.5)     		ty = 76221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61641 / 76221 ti = "17/61641/76221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61641/76221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61641 ÷ 217
    61641 ÷ 131072     		x = 0.470283508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76221 ÷ 217
    76221 ÷ 131072     		y = 0.581520080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470283508300781 × 2 - 1) × π
    -0.0594329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18671422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581520080566406 × 2 - 1) × π
    -0.163040161132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.5122057724403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18671422} λ = -0.18671422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5122057724403))-π/2
    2×atan(0.599172481975722)-π/2
    2×0.539810808988318-π/2
    1.07962161797664-1.57079632675     		φ = -0.49117471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18671422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.697937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49117471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.142238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61641 KachelY 76221 -0.18671422 -0.49117471 -10.697937 -28.142238
    Oben rechts KachelX + 1 61642 KachelY 76221 -0.18666629 -0.49117471 -10.695191 -28.142238
    Unten links KachelX 61641 KachelY + 1 76222 -0.18671422 -0.49121698 -10.697937 -28.144660
    Unten rechts KachelX + 1 61642 KachelY + 1 76222 -0.18666629 -0.49121698 -10.695191 -28.144660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49117471--0.49121698) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49117471--0.49121698) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18671422--0.18666629) × cos(-0.49117471) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881779401015464 × 6371000     		do = 269.261947906119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18671422--0.18666629) × cos(-0.49121698) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		du = 269.25585961551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49117471)-sin(-0.49121698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881779401015464-0.881759463072922)×R²
    abs(-0.18666629--0.18671422)×1.9937942542847e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9937942542847e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9937942542847e-05×40589641000000     		ar = 72512.0070854057m²