Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61641 / 34051
↖ ↑ ↗
← N 65.068657°
W 10.697937°		 ← 128.72 m → N 65.068657°
W 10.695191°		 →
↑
128.69 m
↓
↑
128.69 m
↓
N 65.067499°
W 10.697937°		 ← 128.73 m →
16 566 m²		 N 65.067499°
W 10.695191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470287322998047 y=0.259792327880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470287322998047 × 217)
    floor (0.470287322998047 × 131072)
    floor (61641.5)     		tx = 61641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259792327880859 × 217)
    floor (0.259792327880859 × 131072)
    floor (34051.5)     		ty = 34051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61641 / 34051 ti = "17/61641/34051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61641/34051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61641 ÷ 217
    61641 ÷ 131072     		x = 0.470283508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34051 ÷ 217
    34051 ÷ 131072     		y = 0.259788513183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470283508300781 × 2 - 1) × π
    -0.0594329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18671422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259788513183594 × 2 - 1) × π
    0.480422973632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.50929328453747
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18671422} λ = -0.18671422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50929328453747))-π/2
    2×atan(4.52353281383142)-π/2
    2×1.35322931560329-π/2
    2.70645863120658-1.57079632675     		φ = 1.13566230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18671422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.697937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13566230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.068657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61641 KachelY 34051 -0.18671422 1.13566230 -10.697937 65.068657
    Oben rechts KachelX + 1 61642 KachelY 34051 -0.18666629 1.13566230 -10.695191 65.068657
    Unten links KachelX 61641 KachelY + 1 34052 -0.18671422 1.13564210 -10.697937 65.067499
    Unten rechts KachelX + 1 61642 KachelY + 1 34052 -0.18666629 1.13564210 -10.695191 65.067499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13566230-1.13564210) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dl = 128.694199998749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13566230-1.13564210) × R
    2.01999999998037e-05 × 6371000     		dr = 128.694199998749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18671422--0.18666629) × cos(1.13566230) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.421531942466506 × 6371000     		do = 128.719849661345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18671422--0.18666629) × cos(1.13564210) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.421550260014291 × 6371000     		du = 128.725443144922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13566230)-sin(1.13564210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421531942466506-0.421550260014291)×R²
    abs(-0.18666629--0.18671422)×1.83175477857511e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.83175477857511e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.83175477857511e-05×40589641000000     		ar = 16565.8580011032m²