Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 6164 / 6325
↖ ↑ ↗
← S 69.488372°
E 90.878906°		 ← 1 712.24 m → S 69.488372°
E 90.922852°		 →
↑
1 711.63 m
↓
↑
1 711.63 m
↓
S 69.503765°
E 90.878906°		 ← 1 711.01 m →
2 929 669 m²		 S 69.503765°
E 90.922852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6164 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6325 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75250244140625 y=0.77215576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75250244140625 × 213)
    floor (0.75250244140625 × 8192)
    floor (6164.5)     		tx = 6164
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.77215576171875 × 213)
    floor (0.77215576171875 × 8192)
    floor (6325.5)     		ty = 6325
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6164 / 6325 ti = "13/6164/6325"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6164/6325.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6164 ÷ 213
    6164 ÷ 8192     		x = 0.75244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6325 ÷ 213
    6325 ÷ 8192     		y = 0.7720947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75244140625 × 2 - 1) × π
    0.5048828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58613613
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7720947265625 × 2 - 1) × π
    -0.544189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.70962158804968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58613613} λ = 1.58613613}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.70962158804968))-π/2
    2×atan(0.180934247345679)-π/2
    2×0.178997718295938-π/2
    0.357995436591876-1.57079632675     		φ = -1.21280089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58613613} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21280089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.488372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6164 KachelY 6325 1.58613613 -1.21280089 90.878906 -69.488372
    Oben rechts KachelX + 1 6165 KachelY 6325 1.58690313 -1.21280089 90.922852 -69.488372
    Unten links KachelX 6164 KachelY + 1 6326 1.58613613 -1.21306955 90.878906 -69.503765
    Unten rechts KachelX + 1 6165 KachelY + 1 6326 1.58690313 -1.21306955 90.922852 -69.503765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21280089--1.21306955) × R
    0.000268659999999921 × 6371000     		dl = 1711.63285999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21280089--1.21306955) × R
    0.000268659999999921 × 6371000     		dr = 1711.63285999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(-1.21280089) × R
    0.000766999999999962 × 0.350397462428099 × 6371000     		do = 1712.23717281018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58613613-1.58690313) × cos(-1.21306955) × R
    0.000766999999999962 × 0.350145822534387 × 6371000     		du = 1711.00752012608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21280089)-sin(-1.21306955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350397462428099-0.350145822534387)×R²
    abs(1.58690313-1.58613613)×0.000251639893712019×R²
    0.000766999999999962×0.000251639893712019×6371000²
    0.000766999999999962×0.000251639893712019×40589641000000     		ar = 2929669.06974771m²