Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61639 / 40657
↖ ↑ ↗
← N 56.241824°
W 10.703430°		 ← 169.72 m → N 56.241824°
W 10.700684°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.240297°
W 10.703430°		 ← 169.73 m →
28 806 m²		 N 56.240297°
W 10.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470272064208984 y=0.310192108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470272064208984 × 217)
    floor (0.470272064208984 × 131072)
    floor (61639.5)     		tx = 61639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310192108154297 × 217)
    floor (0.310192108154297 × 131072)
    floor (40657.5)     		ty = 40657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61639 / 40657 ti = "17/61639/40657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61639/40657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61639 ÷ 217
    61639 ÷ 131072     		x = 0.470268249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40657 ÷ 217
    40657 ÷ 131072     		y = 0.310188293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470268249511719 × 2 - 1) × π
    -0.0594635009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18681010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310188293457031 × 2 - 1) × π
    0.379623413085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.19262212564738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18681010} λ = -0.18681010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19262212564738))-π/2
    2×atan(3.29571165743931)-π/2
    2×1.27620066391581-π/2
    2.55240132783161-1.57079632675     		φ = 0.98160500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18681010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.703430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98160500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.241824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61639 KachelY 40657 -0.18681010 0.98160500 -10.703430 56.241824
    Oben rechts KachelX + 1 61640 KachelY 40657 -0.18676216 0.98160500 -10.700684 56.241824
    Unten links KachelX 61639 KachelY + 1 40658 -0.18681010 0.98157836 -10.703430 56.240297
    Unten rechts KachelX + 1 61640 KachelY + 1 40658 -0.18676216 0.98157836 -10.700684 56.240297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98160500-0.98157836) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dl = 169.723439999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98160500-0.98157836) × R
    2.66399999999667e-05 × 6371000     		dr = 169.723439999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18681010--0.18676216) × cos(0.98160500) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555688881607013 × 6371000     		do = 169.721687874581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18681010--0.18676216) × cos(0.98157836) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555711029647995 × 6371000     		du = 169.728452456388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98160500)-sin(0.98157836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555688881607013-0.555711029647995)×R²
    abs(-0.18676216--0.18681010)×2.21480409815511e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21480409815511e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21480409815511e-05×40589641000000     		ar = 28806.3227643176m²