Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61639 / 33705
↖ ↑ ↗
← N 65.466245°
W 10.703430°		 ← 126.82 m → N 65.466245°
W 10.700684°		 →
↑
126.78 m
↓
↑
126.78 m
↓
N 65.465105°
W 10.703430°		 ← 126.83 m →
16 079 m²		 N 65.465105°
W 10.700684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470272064208984 y=0.257152557373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470272064208984 × 217)
    floor (0.470272064208984 × 131072)
    floor (61639.5)     		tx = 61639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.257152557373047 × 217)
    floor (0.257152557373047 × 131072)
    floor (33705.5)     		ty = 33705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61639 / 33705 ti = "17/61639/33705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61639/33705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61639 ÷ 217
    61639 ÷ 131072     		x = 0.470268249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33705 ÷ 217
    33705 ÷ 131072     		y = 0.257148742675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470268249511719 × 2 - 1) × π
    -0.0594635009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18681010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.257148742675781 × 2 - 1) × π
    0.485702514648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.52587945180601
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18681010} λ = -0.18681010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.52587945180601))-π/2
    2×atan(4.59918655416216)-π/2
    2×1.35669892918703-π/2
    2.71339785837407-1.57079632675     		φ = 1.14260153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18681010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.703430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14260153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.466245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61639 KachelY 33705 -0.18681010 1.14260153 -10.703430 65.466245
    Oben rechts KachelX + 1 61640 KachelY 33705 -0.18676216 1.14260153 -10.700684 65.466245
    Unten links KachelX 61639 KachelY + 1 33706 -0.18681010 1.14258163 -10.703430 65.465105
    Unten rechts KachelX + 1 61640 KachelY + 1 33706 -0.18676216 1.14258163 -10.700684 65.465105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14260153-1.14258163) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dl = 126.782900000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14260153-1.14258163) × R
    1.99000000000726e-05 × 6371000     		dr = 126.782900000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18681010--0.18676216) × cos(1.14260153) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415229256195293 × 6371000     		do = 126.821702843087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18681010--0.18676216) × cos(1.14258163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.415247359477488 × 6371000     		du = 126.827232051448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14260153)-sin(1.14258163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415229256195293-0.415247359477488)×R²
    abs(-0.18676216--0.18681010)×1.81032821954252e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.81032821954252e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.81032821954252e-05×40589641000000     		ar = 16079.1737745708m²