Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61638 / 34637
↖ ↑ ↗
← N 64.381504°
W 10.706176°		 ← 132.03 m → N 64.381504°
W 10.703430°		 →
↑
132.07 m
↓
↑
132.07 m
↓
N 64.380316°
W 10.706176°		 ← 132.04 m →
17 438 m²		 N 64.380316°
W 10.703430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470264434814453 y=0.264263153076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470264434814453 × 217)
    floor (0.470264434814453 × 131072)
    floor (61638.5)     		tx = 61638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264263153076172 × 217)
    floor (0.264263153076172 × 131072)
    floor (34637.5)     		ty = 34637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61638 / 34637 ti = "17/61638/34637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61638/34637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61638 ÷ 217
    61638 ÷ 131072     		x = 0.470260620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34637 ÷ 217
    34637 ÷ 131072     		y = 0.264259338378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470260620117188 × 2 - 1) × π
    -0.059478759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18685803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264259338378906 × 2 - 1) × π
    0.471481323242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.48120226136012
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18685803} λ = -0.18685803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48120226136012))-π/2
    2×atan(4.39823032589369)-π/2
    2×1.3472327732396-π/2
    2.6944655464792-1.57079632675     		φ = 1.12366922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18685803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.706176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12366922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.381504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61638 KachelY 34637 -0.18685803 1.12366922 -10.706176 64.381504
    Oben rechts KachelX + 1 61639 KachelY 34637 -0.18681010 1.12366922 -10.703430 64.381504
    Unten links KachelX 61638 KachelY + 1 34638 -0.18685803 1.12364849 -10.706176 64.380316
    Unten rechts KachelX + 1 61639 KachelY + 1 34638 -0.18681010 1.12364849 -10.703430 64.380316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12366922-1.12364849) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dl = 132.070829999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12366922-1.12364849) × R
    2.07299999999133e-05 × 6371000     		dr = 132.070829999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18685803--0.18681010) × cos(1.12366922) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.432376854311686 × 6371000     		do = 132.031473957635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18685803--0.18681010) × cos(1.12364849) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.432395546314552 × 6371000     		du = 132.037181785575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12366922)-sin(1.12364849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432376854311686-0.432395546314552)×R²
    abs(-0.18681010--0.18685803)×1.86920028658055e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.86920028658055e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.86920028658055e-05×40589641000000     		ar = 17437.8832711207m²