Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61637 / 40660
↖ ↑ ↗
← N 56.237245°
W 10.708923°		 ← 169.74 m → N 56.237245°
W 10.706176°		 →
↑
169.72 m
↓
↑
169.72 m
↓
N 56.235718°
W 10.708923°		 ← 169.75 m →
28 810 m²		 N 56.235718°
W 10.706176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470256805419922 y=0.310214996337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470256805419922 × 217)
    floor (0.470256805419922 × 131072)
    floor (61637.5)     		tx = 61637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310214996337891 × 217)
    floor (0.310214996337891 × 131072)
    floor (40660.5)     		ty = 40660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61637 / 40660 ti = "17/61637/40660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61637/40660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61637 ÷ 217
    61637 ÷ 131072     		x = 0.470252990722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40660 ÷ 217
    40660 ÷ 131072     		y = 0.310211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470252990722656 × 2 - 1) × π
    -0.0594940185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18690597
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310211181640625 × 2 - 1) × π
    0.37957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19247831494852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18690597} λ = -0.18690597}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19247831494852))-π/2
    2×atan(3.29523773292114)-π/2
    2×1.27616070452392-π/2
    2.55232140904785-1.57079632675     		φ = 0.98152508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18690597} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.708923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98152508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.237245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61637 KachelY 40660 -0.18690597 0.98152508 -10.708923 56.237245
    Oben rechts KachelX + 1 61638 KachelY 40660 -0.18685803 0.98152508 -10.706176 56.237245
    Unten links KachelX 61637 KachelY + 1 40661 -0.18690597 0.98149844 -10.708923 56.235718
    Unten rechts KachelX + 1 61638 KachelY + 1 40661 -0.18685803 0.98149844 -10.706176 56.235718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98152508-0.98149844) × R
    2.66400000000777e-05 × 6371000     		dl = 169.723440000495m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98152508-0.98149844) × R
    2.66400000000777e-05 × 6371000     		dr = 169.723440000495m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18690597--0.18685803) × cos(0.98152508) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555755324546795 × 6371000     		do = 169.741981258632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18690597--0.18685803) × cos(0.98149844) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.555777471404583 × 6371000     		du = 169.748745479061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98152508)-sin(0.98149844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555755324546795-0.555777471404583)×R²
    abs(-0.18685803--0.18690597)×2.21468577874528e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.21468577874528e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.21468577874528e-05×40589641000000     		ar = 28809.7669969776m²