Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6163 / 10038
↖ ↑ ↗
← S 37.544577°
W 44.582519°		 ← 1 937.17 m → S 37.544577°
W 44.560547°		 →
↑
1 936.98 m
↓
↑
1 936.98 m
↓
S 37.561997°
W 44.582519°		 ← 1 936.72 m →
3 751 821 m²		 S 37.561997°
W 44.560547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.376190185546875 y=0.612701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.376190185546875 × 214)
    floor (0.376190185546875 × 16384)
    floor (6163.5)     		tx = 6163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.612701416015625 × 214)
    floor (0.612701416015625 × 16384)
    floor (10038.5)     		ty = 10038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6163 / 10038 ti = "14/6163/10038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6163/10038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6163 ÷ 214
    6163 ÷ 16384     		x = 0.37615966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10038 ÷ 214
    10038 ÷ 16384     		y = 0.6126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37615966796875 × 2 - 1) × π
    -0.2476806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.77811175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6126708984375 × 2 - 1) × π
    -0.225341796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.707932133588989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.77811175} λ = -0.77811175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.707932133588989))-π/2
    2×atan(0.492661903860855)-π/2
    2×0.457759918146207-π/2
    0.915519836292414-1.57079632675     		φ = -0.65527649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.77811175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -44.582519°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.65527649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -37.544577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6163 KachelY 10038 -0.77811175 -0.65527649 -44.582519 -37.544577
    Oben rechts KachelX + 1 6164 KachelY 10038 -0.77772826 -0.65527649 -44.560547 -37.544577
    Unten links KachelX 6163 KachelY + 1 10039 -0.77811175 -0.65558052 -44.582519 -37.561997
    Unten rechts KachelX + 1 6164 KachelY + 1 10039 -0.77772826 -0.65558052 -44.560547 -37.561997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.65527649--0.65558052) × R
    0.000304030000000011 × 6371000     		dl = 1936.97513000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.65527649--0.65558052) × R
    0.000304030000000011 × 6371000     		dr = 1936.97513000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.77811175--0.77772826) × cos(-0.65527649) × R
    0.000383490000000042 × 0.792879471351661 × 6371000     		do = 1937.17485109397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.77811175--0.77772826) × cos(-0.65558052) × R
    0.000383490000000042 × 0.792694165367636 × 6371000     		du = 1936.72210877313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.65527649)-sin(-0.65558052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.792879471351661-0.792694165367636)×R²
    abs(-0.77772826--0.77811175)×0.000185305984024886×R²
    0.000383490000000042×0.000185305984024886×6371000²
    0.000383490000000042×0.000185305984024886×40589641000000     		ar = 3751821.0626233m²