Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61628 / 34628
↖ ↑ ↗
← N 64.392190°
W 10.733642°		 ← 131.98 m → N 64.392190°
W 10.730896°		 →
↑
131.94 m
↓
↑
131.94 m
↓
N 64.391003°
W 10.733642°		 ← 131.99 m →
17 414 m²		 N 64.391003°
W 10.730896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470188140869141 y=0.264194488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470188140869141 × 217)
    floor (0.470188140869141 × 131072)
    floor (61628.5)     		tx = 61628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264194488525391 × 217)
    floor (0.264194488525391 × 131072)
    floor (34628.5)     		ty = 34628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61628 / 34628 ti = "17/61628/34628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61628/34628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61628 ÷ 217
    61628 ÷ 131072     		x = 0.470184326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34628 ÷ 217
    34628 ÷ 131072     		y = 0.264190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470184326171875 × 2 - 1) × π
    -0.05963134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18733740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264190673828125 × 2 - 1) × π
    0.47161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4816336934567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18733740} λ = -0.18733740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4816336934567))-π/2
    2×atan(4.40012827301264)-π/2
    2×1.34732602572582-π/2
    2.69465205145164-1.57079632675     		φ = 1.12385572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18733740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.733642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12385572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.392190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61628 KachelY 34628 -0.18733740 1.12385572 -10.733642 64.392190
    Oben rechts KachelX + 1 61629 KachelY 34628 -0.18728947 1.12385572 -10.730896 64.392190
    Unten links KachelX 61628 KachelY + 1 34629 -0.18733740 1.12383501 -10.733642 64.391003
    Unten rechts KachelX + 1 61629 KachelY + 1 34629 -0.18728947 1.12383501 -10.730896 64.391003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12385572-1.12383501) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dl = 131.943409998807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12385572-1.12383501) × R
    2.07099999998128e-05 × 6371000     		dr = 131.943409998807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18733740--0.18728947) × cos(1.12385572) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432208681049716 × 6371000     		do = 131.980120228892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18733740--0.18728947) × cos(1.12383501) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.432227356688631 × 6371000     		du = 131.985823059902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12385572)-sin(1.12383501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432208681049716-0.432227356688631)×R²
    abs(-0.18728947--0.18733740)×1.86756389151665e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.86756389151665e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.86756389151665e-05×40589641000000     		ar = 17414.2833412855m²