Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61627 / 40631
↖ ↑ ↗
← N 56.281486°
W 10.736389°		 ← 169.55 m → N 56.281486°
W 10.733642°		 →
↑
169.53 m
↓
↑
169.53 m
↓
N 56.279961°
W 10.736389°		 ← 169.55 m →
28 744 m²		 N 56.279961°
W 10.733642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470180511474609 y=0.309993743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470180511474609 × 217)
    floor (0.470180511474609 × 131072)
    floor (61627.5)     		tx = 61627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309993743896484 × 217)
    floor (0.309993743896484 × 131072)
    floor (40631.5)     		ty = 40631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61627 / 40631 ti = "17/61627/40631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61627/40631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61627 ÷ 217
    61627 ÷ 131072     		x = 0.470176696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40631 ÷ 217
    40631 ÷ 131072     		y = 0.309989929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470176696777344 × 2 - 1) × π
    -0.0596466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18738534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309989929199219 × 2 - 1) × π
    0.380020141601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.1938684850375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18738534} λ = -0.18738534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1938684850375))-π/2
    2×atan(3.29982185947307)-π/2
    2×1.2765467785605-π/2
    2.553093557121-1.57079632675     		φ = 0.98229723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18738534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.736389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98229723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.281486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61627 KachelY 40631 -0.18738534 0.98229723 -10.736389 56.281486
    Oben rechts KachelX + 1 61628 KachelY 40631 -0.18733740 0.98229723 -10.733642 56.281486
    Unten links KachelX 61627 KachelY + 1 40632 -0.18738534 0.98227062 -10.736389 56.279961
    Unten rechts KachelX + 1 61628 KachelY + 1 40632 -0.18733740 0.98227062 -10.733642 56.279961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98229723-0.98227062) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dl = 169.532310000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98229723-0.98227062) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dr = 169.532310000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18738534--0.18733740) × cos(0.98229723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555113235192498 × 6371000     		do = 169.545870642548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18738534--0.18733740) × cos(0.98227062) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555135368523039 × 6371000     		du = 169.552630731407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98229723)-sin(0.98227062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555113235192498-0.555135368523039)×R²
    abs(-0.18733740--0.18738534)×2.21333305410187e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21333305410187e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21333305410187e-05×40589641000000     		ar = 28744.0761296122m²