Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61627 / 34587
↖ ↑ ↗
← N 64.440818°
W 10.736389°		 ← 131.77 m → N 64.440818°
W 10.733642°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 64.439633°
W 10.736389°		 ← 131.78 m →
17 362 m²		 N 64.439633°
W 10.733642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470180511474609 y=0.263881683349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470180511474609 × 217)
    floor (0.470180511474609 × 131072)
    floor (61627.5)     		tx = 61627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263881683349609 × 217)
    floor (0.263881683349609 × 131072)
    floor (34587.5)     		ty = 34587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61627 / 34587 ti = "17/61627/34587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61627/34587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61627 ÷ 217
    61627 ÷ 131072     		x = 0.470176696777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34587 ÷ 217
    34587 ÷ 131072     		y = 0.263877868652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470176696777344 × 2 - 1) × π
    -0.0596466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18738534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263877868652344 × 2 - 1) × π
    0.472244262695312 × 3.1415926535     		Φ = 1.48359910634112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18738534} λ = -0.18738534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48359910634112))-π/2
    2×atan(4.40878484589689)-π/2
    2×1.34775038375777-π/2
    2.69550076751555-1.57079632675     		φ = 1.12470444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18738534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.736389°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12470444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.440818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61627 KachelY 34587 -0.18738534 1.12470444 -10.736389 64.440818
    Oben rechts KachelX + 1 61628 KachelY 34587 -0.18733740 1.12470444 -10.733642 64.440818
    Unten links KachelX 61627 KachelY + 1 34588 -0.18738534 1.12468376 -10.736389 64.439633
    Unten rechts KachelX + 1 61628 KachelY + 1 34588 -0.18733740 1.12468376 -10.733642 64.439633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12470444-1.12468376) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12470444-1.12468376) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18738534--0.18733740) × cos(1.12470444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.43144317217203 × 6371000     		do = 131.773850128656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18738534--0.18733740) × cos(1.12468376) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.431461828337374 × 6371000     		du = 131.779548201762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12470444)-sin(1.12468376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43144317217203-0.431461828337374)×R²
    abs(-0.18733740--0.18738534)×1.86561653448547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86561653448547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86561653448547e-05×40589641000000     		ar = 17361.8805664615m²