Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61624 / 40856
↖ ↑ ↗
← N 55.936895°
W 10.744629°		 ← 171.07 m → N 55.936895°
W 10.741882°		 →
↑
171.06 m
↓
↑
171.06 m
↓
N 55.935357°
W 10.744629°		 ← 171.08 m →
29 264 m²		 N 55.935357°
W 10.741882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470157623291016 y=0.311710357666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470157623291016 × 217)
    floor (0.470157623291016 × 131072)
    floor (61624.5)     		tx = 61624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311710357666016 × 217)
    floor (0.311710357666016 × 131072)
    floor (40856.5)     		ty = 40856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61624 / 40856 ti = "17/61624/40856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61624/40856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61624 ÷ 217
    61624 ÷ 131072     		x = 0.47015380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40856 ÷ 217
    40856 ÷ 131072     		y = 0.31170654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47015380859375 × 2 - 1) × π
    -0.0596923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18752915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31170654296875 × 2 - 1) × π
    0.3765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.18308268262299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18752915} λ = -0.18752915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18308268262299))-π/2
    2×atan(3.26442188464372)-π/2
    2×1.27353965691864-π/2
    2.54707931383729-1.57079632675     		φ = 0.97628299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18752915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.744629°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97628299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 55.936895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61624 KachelY 40856 -0.18752915 0.97628299 -10.744629 55.936895
    Oben rechts KachelX + 1 61625 KachelY 40856 -0.18748121 0.97628299 -10.741882 55.936895
    Unten links KachelX 61624 KachelY + 1 40857 -0.18752915 0.97625614 -10.744629 55.935357
    Unten rechts KachelX + 1 61625 KachelY + 1 40857 -0.18748121 0.97625614 -10.741882 55.935357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97628299-0.97625614) × R
    2.68499999999117e-05 × 6371000     		dl = 171.061349999437m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97628299-0.97625614) × R
    2.68499999999117e-05 × 6371000     		dr = 171.061349999437m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18752915--0.18748121) × cos(0.97628299) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.56010565873616 × 6371000     		do = 171.070685297666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18752915--0.18748121) × cos(0.97625614) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.560127901642937 × 6371000     		du = 171.077478853928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97628299)-sin(0.97625614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.56010565873616-0.560127901642937)×R²
    abs(-0.18748121--0.18752915)×2.22429067769925e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.22429067769925e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.22429067769925e-05×40589641000000     		ar = 29264.1634314738m²