Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61622 / 34647
↖ ↑ ↗
← N 64.369626°
W 10.750122°		 ← 132.12 m → N 64.369626°
W 10.747376°		 →
↑
132.13 m
↓
↑
132.13 m
↓
N 64.368438°
W 10.750122°		 ← 132.12 m →
17 457 m²		 N 64.368438°
W 10.747376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470142364501953 y=0.264339447021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470142364501953 × 217)
    floor (0.470142364501953 × 131072)
    floor (61622.5)     		tx = 61622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264339447021484 × 217)
    floor (0.264339447021484 × 131072)
    floor (34647.5)     		ty = 34647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61622 / 34647 ti = "17/61622/34647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61622/34647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61622 ÷ 217
    61622 ÷ 131072     		x = 0.470138549804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34647 ÷ 217
    34647 ÷ 131072     		y = 0.264335632324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470138549804688 × 2 - 1) × π
    -0.059722900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.18762503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264335632324219 × 2 - 1) × π
    0.471328735351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.48072289236391
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18762503} λ = -0.18762503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48072289236391))-π/2
    2×atan(4.39612245590143)-π/2
    2×1.34712911681015-π/2
    2.69425823362031-1.57079632675     		φ = 1.12346191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18762503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.750122°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12346191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.369626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61622 KachelY 34647 -0.18762503 1.12346191 -10.750122 64.369626
    Oben rechts KachelX + 1 61623 KachelY 34647 -0.18757709 1.12346191 -10.747376 64.369626
    Unten links KachelX 61622 KachelY + 1 34648 -0.18762503 1.12344117 -10.750122 64.368438
    Unten rechts KachelX + 1 61623 KachelY + 1 34648 -0.18757709 1.12344117 -10.747376 64.368438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12346191-1.12344117) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dl = 132.134540000475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12346191-1.12344117) × R
    2.07400000000746e-05 × 6371000     		dr = 132.134540000475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18762503--0.18757709) × cos(1.12346191) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432563774993758 × 6371000     		do = 132.116111074652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18762503--0.18757709) × cos(1.12344117) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.432582474153971 × 6371000     		du = 132.121822279497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12346191)-sin(1.12344117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432563774993758-0.432582474153971)×R²
    abs(-0.18757709--0.18762503)×1.86991602126318e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86991602126318e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86991602126318e-05×40589641000000     		ar = 17457.4788877202m²