Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61622 / 12590
↖ ↑ ↗
← N 73.556412°
E158.499756°		 ← 172.91 m → N 73.556412°
E158.505249°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 73.554857°
E158.499756°		 ← 172.93 m →
29 900 m²		 N 73.554857°
E158.505249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940284729003906 y=0.192115783691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940284729003906 × 216)
    floor (0.940284729003906 × 65536)
    floor (61622.5)     		tx = 61622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192115783691406 × 216)
    floor (0.192115783691406 × 65536)
    floor (12590.5)     		ty = 12590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61622 / 12590 ti = "16/61622/12590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61622/12590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61622 ÷ 216
    61622 ÷ 65536     		x = 0.940277099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12590 ÷ 216
    12590 ÷ 65536     		y = 0.192108154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940277099609375 × 2 - 1) × π
    0.88055419921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.76634260
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192108154296875 × 2 - 1) × π
    0.61578369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.93454152106699
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76634260} λ = 2.76634260}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93454152106699))-π/2
    2×atan(6.9208702546636)-π/2
    2×1.42729895000282-π/2
    2.85459790000565-1.57079632675     		φ = 1.28380157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76634260} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.499756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28380157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.556412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61622 KachelY 12590 2.76634260 1.28380157 158.499756 73.556412
    Oben rechts KachelX + 1 61623 KachelY 12590 2.76643848 1.28380157 158.505249 73.556412
    Unten links KachelX 61622 KachelY + 1 12591 2.76634260 1.28377443 158.499756 73.554857
    Unten rechts KachelX + 1 61623 KachelY + 1 12591 2.76643848 1.28377443 158.505249 73.554857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28380157-1.28377443) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28380157-1.28377443) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76634260-2.76643848) × cos(1.28380157) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283071182257973 × 6371000     		do = 172.914450627519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76634260-2.76643848) × cos(1.28377443) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.283097212097946 × 6371000     		du = 172.930350993791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28380157)-sin(1.28377443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283071182257973-0.283097212097946)×R²
    abs(2.76643848-2.76634260)×2.60298399725745e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.60298399725745e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.60298399725745e-05×40589641000000     		ar = 29899.8290282677m²