Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61621 / 12629
↖ ↑ ↗
← N 73.495660°
E158.494263°		 ← 173.52 m → N 73.495660°
E158.499756°		 →
↑
173.55 m
↓
↑
173.55 m
↓
N 73.494099°
E158.494263°		 ← 173.53 m →
30 115 m²		 N 73.494099°
E158.499756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940269470214844 y=0.192710876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940269470214844 × 216)
    floor (0.940269470214844 × 65536)
    floor (61621.5)     		tx = 61621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192710876464844 × 216)
    floor (0.192710876464844 × 65536)
    floor (12629.5)     		ty = 12629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61621 / 12629 ti = "16/61621/12629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61621/12629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61621 ÷ 216
    61621 ÷ 65536     		x = 0.940261840820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12629 ÷ 216
    12629 ÷ 65536     		y = 0.192703247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940261840820312 × 2 - 1) × π
    0.880523681640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76624673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192703247070312 × 2 - 1) × π
    0.614593505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93080244289662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76624673} λ = 2.76624673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93080244289662))-π/2
    2×atan(6.8950408988574)-π/2
    2×1.42676878741655-π/2
    2.85353757483311-1.57079632675     		φ = 1.28274125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76624673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.494263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28274125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.495660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61621 KachelY 12629 2.76624673 1.28274125 158.494263 73.495660
    Oben rechts KachelX + 1 61622 KachelY 12629 2.76634260 1.28274125 158.499756 73.495660
    Unten links KachelX 61621 KachelY + 1 12630 2.76624673 1.28271401 158.494263 73.494099
    Unten rechts KachelX + 1 61622 KachelY + 1 12630 2.76634260 1.28271401 158.499756 73.494099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28274125-1.28271401) × R
    2.72399999998729e-05 × 6371000     		dl = 173.54603999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28274125-1.28271401) × R
    2.72399999998729e-05 × 6371000     		dr = 173.54603999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76624673-2.76634260) × cos(1.28274125) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.28408797469086 × 6371000     		do = 173.517460545243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76624673-2.76634260) × cos(1.28271401) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.284114092248913 × 6371000     		du = 173.533412830284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28274125)-sin(1.28271401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28408797469086-0.284114092248913)×R²
    abs(2.76634260-2.76624673)×2.61175580529294e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.61175580529294e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.61175580529294e-05×40589641000000     		ar = 30114.6523779546m²