Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6162 / 6450
↖ ↑ ↗
← S 71.328950°
E 90.791015°		 ← 1 564.33 m → S 71.328950°
E 90.834961°		 →
↑
1 563.76 m
↓
↑
1 563.76 m
↓
S 71.343013°
E 90.791015°		 ← 1 563.20 m →
2 445 358 m²		 S 71.343013°
E 90.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6162 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75225830078125 y=0.78741455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75225830078125 × 213)
    floor (0.75225830078125 × 8192)
    floor (6162.5)     		tx = 6162
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.78741455078125 × 213)
    floor (0.78741455078125 × 8192)
    floor (6450.5)     		ty = 6450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6162 / 6450 ti = "13/6162/6450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6162/6450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6162 ÷ 213
    6162 ÷ 8192     		x = 0.752197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6450 ÷ 213
    6450 ÷ 8192     		y = 0.787353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.752197265625 × 2 - 1) × π
    0.50439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.58460215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.787353515625 × 2 - 1) × π
    -0.57470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.80549538728979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.58460215} λ = 1.58460215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.80549538728979))-π/2
    2×atan(0.164392998200259)-π/2
    2×0.162935647107859-π/2
    0.325871294215719-1.57079632675     		φ = -1.24492503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.58460215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.791015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24492503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.328950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6162 KachelY 6450 1.58460215 -1.24492503 90.791015 -71.328950
    Oben rechts KachelX + 1 6163 KachelY 6450 1.58536914 -1.24492503 90.834961 -71.328950
    Unten links KachelX 6162 KachelY + 1 6451 1.58460215 -1.24517048 90.791015 -71.343013
    Unten rechts KachelX + 1 6163 KachelY + 1 6451 1.58536914 -1.24517048 90.834961 -71.343013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24492503--1.24517048) × R
    0.00024544999999998 × 6371000     		dl = 1563.76194999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24492503--1.24517048) × R
    0.00024544999999998 × 6371000     		dr = 1563.76194999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.58460215-1.58536914) × cos(-1.24492503) × R
    0.000766990000000023 × 0.320134349590218 × 6371000     		do = 1564.33435117116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.58460215-1.58536914) × cos(-1.24517048) × R
    0.000766990000000023 × 0.319901807453989 × 6371000     		du = 1563.19803558284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24492503)-sin(-1.24517048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.320134349590218-0.319901807453989)×R²
    abs(1.58536914-1.58460215)×0.000232542136228642×R²
    0.000766990000000023×0.000232542136228642×6371000²
    0.000766990000000023×0.000232542136228642×40589641000000     		ar = 2445358.08417822m²