Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61618 / 40669
↖ ↑ ↗
← N 56.223504°
W 10.761108°		 ← 169.77 m → N 56.223504°
W 10.758362°		 →
↑
169.79 m
↓
↑
169.79 m
↓
N 56.221978°
W 10.761108°		 ← 169.77 m →
28 825 m²		 N 56.221978°
W 10.758362°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470111846923828 y=0.310283660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470111846923828 × 217)
    floor (0.470111846923828 × 131072)
    floor (61618.5)     		tx = 61618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.310283660888672 × 217)
    floor (0.310283660888672 × 131072)
    floor (40669.5)     		ty = 40669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61618 / 40669 ti = "17/61618/40669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61618/40669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61618 ÷ 217
    61618 ÷ 131072     		x = 0.470108032226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40669 ÷ 217
    40669 ÷ 131072     		y = 0.310279846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470108032226562 × 2 - 1) × π
    -0.059783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18781677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.310279846191406 × 2 - 1) × π
    0.379440307617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.19204688285194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18781677} λ = -0.18781677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19204688285194))-π/2
    2×atan(3.29381636823051)-π/2
    2×1.27604079768088-π/2
    2.55208159536176-1.57079632675     		φ = 0.98128527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18781677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.761108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98128527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.223504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61618 KachelY 40669 -0.18781677 0.98128527 -10.761108 56.223504
    Oben rechts KachelX + 1 61619 KachelY 40669 -0.18776884 0.98128527 -10.758362 56.223504
    Unten links KachelX 61618 KachelY + 1 40670 -0.18781677 0.98125862 -10.761108 56.221978
    Unten rechts KachelX + 1 61619 KachelY + 1 40670 -0.18776884 0.98125862 -10.758362 56.221978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98128527-0.98125862) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dl = 169.787150000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98128527-0.98125862) × R
    2.66500000000169e-05 × 6371000     		dr = 169.787150000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18781677--0.18776884) × cos(0.98128527) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555954673626732 × 6371000     		do = 169.767447726652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18781677--0.18776884) × cos(0.98125862) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.555976825245325 × 6371000     		du = 169.774211989873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98128527)-sin(0.98125862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555954673626732-0.555976825245325)×R²
    abs(-0.18776884--0.18781677)×2.21516185936466e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.21516185936466e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.21516185936466e-05×40589641000000     		ar = 28824.9053564729m²