Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61618 / 12591
↖ ↑ ↗
← N 73.554857°
E158.477783°		 ← 172.91 m → N 73.554857°
E158.483276°		 →
↑
172.91 m
↓
↑
172.91 m
↓
N 73.553302°
E158.477783°		 ← 172.93 m →
29 899 m²		 N 73.553302°
E158.483276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940223693847656 y=0.192131042480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940223693847656 × 216)
    floor (0.940223693847656 × 65536)
    floor (61618.5)     		tx = 61618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192131042480469 × 216)
    floor (0.192131042480469 × 65536)
    floor (12591.5)     		ty = 12591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61618 / 12591 ti = "16/61618/12591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61618/12591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61618 ÷ 216
    61618 ÷ 65536     		x = 0.940216064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12591 ÷ 216
    12591 ÷ 65536     		y = 0.192123413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940216064453125 × 2 - 1) × π
    0.88043212890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76595911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192123413085938 × 2 - 1) × π
    0.615753173828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93444564726775
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76595911} λ = 2.76595911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93444564726775))-π/2
    2×atan(6.9202067563448)-π/2
    2×1.42728537982423-π/2
    2.85457075964846-1.57079632675     		φ = 1.28377443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76595911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.477783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28377443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.554857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61618 KachelY 12591 2.76595911 1.28377443 158.477783 73.554857
    Oben rechts KachelX + 1 61619 KachelY 12591 2.76605498 1.28377443 158.483276 73.554857
    Unten links KachelX 61618 KachelY + 1 12592 2.76595911 1.28374729 158.477783 73.553302
    Unten rechts KachelX + 1 61619 KachelY + 1 12592 2.76605498 1.28374729 158.483276 73.553302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28377443-1.28374729) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dl = 172.908940000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28377443-1.28374729) × R
    2.71400000000366e-05 × 6371000     		dr = 172.908940000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76595911-2.76605498) × cos(1.28377443) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.283097212097946 × 6371000     		do = 172.912314870517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76595911-2.76605498) × cos(1.28374729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.283123241729395 × 6371000     		du = 172.928213451064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28377443)-sin(1.28374729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283097212097946-0.283123241729395)×R²
    abs(2.76605498-2.76595911)×2.60296314489317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60296314489317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60296314489317e-05×40589641000000     		ar = 29899.4595823453m²