Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61617 / 34582
↖ ↑ ↗
← N 64.446742°
W 10.763855°		 ← 131.75 m → N 64.446742°
W 10.761108°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
N 64.445557°
W 10.763855°		 ← 131.75 m →
17 358 m²		 N 64.445557°
W 10.761108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61617 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470104217529297 y=0.263843536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470104217529297 × 217)
    floor (0.470104217529297 × 131072)
    floor (61617.5)     		tx = 61617
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263843536376953 × 217)
    floor (0.263843536376953 × 131072)
    floor (34582.5)     		ty = 34582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61617 / 34582 ti = "17/61617/34582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61617/34582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61617 ÷ 217
    61617 ÷ 131072     		x = 0.470100402832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34582 ÷ 217
    34582 ÷ 131072     		y = 0.263839721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470100402832031 × 2 - 1) × π
    -0.0597991943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18786471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263839721679688 × 2 - 1) × π
    0.472320556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48383879083922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18786471} λ = -0.18786471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48383879083922))-π/2
    2×atan(4.40984168992942)-π/2
    2×1.34780208328802-π/2
    2.69560416657605-1.57079632675     		φ = 1.12480784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18786471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.763855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12480784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.446742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61617 KachelY 34582 -0.18786471 1.12480784 -10.763855 64.446742
    Oben rechts KachelX + 1 61618 KachelY 34582 -0.18781677 1.12480784 -10.761108 64.446742
    Unten links KachelX 61617 KachelY + 1 34583 -0.18786471 1.12478716 -10.763855 64.445557
    Unten rechts KachelX + 1 61618 KachelY + 1 34583 -0.18781677 1.12478716 -10.761108 64.445557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12480784-1.12478716) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12480784-1.12478716) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18786471--0.18781677) × cos(1.12480784) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.431349888577785 × 6371000     		do = 131.745358917777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18786471--0.18781677) × cos(1.12478716) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43136854566561 × 6371000     		du = 131.751057272633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12480784)-sin(1.12478716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431349888577785-0.43136854566561)×R²
    abs(-0.18781677--0.18786471)×1.86570878251691e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.86570878251691e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.86570878251691e-05×40589641000000     		ar = 17358.1268031936m²