Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61616 / 40527
↖ ↑ ↗
← N 56.439722°
W 10.766602°		 ← 168.84 m → N 56.439722°
W 10.763855°		 →
↑
168.83 m
↓
↑
168.83 m
↓
N 56.438204°
W 10.766602°		 ← 168.85 m →
28 507 m²		 N 56.438204°
W 10.763855°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470096588134766 y=0.309200286865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470096588134766 × 217)
    floor (0.470096588134766 × 131072)
    floor (61616.5)     		tx = 61616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309200286865234 × 217)
    floor (0.309200286865234 × 131072)
    floor (40527.5)     		ty = 40527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61616 / 40527 ti = "17/61616/40527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61616/40527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61616 ÷ 217
    61616 ÷ 131072     		x = 0.4700927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40527 ÷ 217
    40527 ÷ 131072     		y = 0.309196472167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4700927734375 × 2 - 1) × π
    -0.059814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18791265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309196472167969 × 2 - 1) × π
    0.381607055664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.19885392259798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18791265} λ = -0.18791265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19885392259798))-π/2
    2×atan(3.31631399140244)-π/2
    2×1.27792765292858-π/2
    2.55585530585716-1.57079632675     		φ = 0.98505898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18791265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.766602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98505898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.439722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61616 KachelY 40527 -0.18791265 0.98505898 -10.766602 56.439722
    Oben rechts KachelX + 1 61617 KachelY 40527 -0.18786471 0.98505898 -10.763855 56.439722
    Unten links KachelX 61616 KachelY + 1 40528 -0.18791265 0.98503248 -10.766602 56.438204
    Unten rechts KachelX + 1 61617 KachelY + 1 40528 -0.18786471 0.98503248 -10.763855 56.438204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98505898-0.98503248) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dl = 168.831500000257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98505898-0.98503248) × R
    2.65000000000404e-05 × 6371000     		dr = 168.831500000257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18791265--0.18786471) × cos(0.98505898) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552813967098965 × 6371000     		do = 168.843614983524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18791265--0.18786471) × cos(0.98503248) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552836049479322 × 6371000     		du = 168.850359510886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98505898)-sin(0.98503248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552813967098965-0.552836049479322)×R²
    abs(-0.18786471--0.18791265)×2.2082380356947e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.2082380356947e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.2082380356947e-05×40589641000000     		ar = 28506.6901292411m²