Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61614 / 34639
↖ ↑ ↗
← N 64.379128°
W 10.772095°		 ← 132.07 m → N 64.379128°
W 10.769348°		 →
↑
132.01 m
↓
↑
132.01 m
↓
N 64.377941°
W 10.772095°		 ← 132.08 m →
17 435 m²		 N 64.377941°
W 10.769348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470081329345703 y=0.264278411865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470081329345703 × 217)
    floor (0.470081329345703 × 131072)
    floor (61614.5)     		tx = 61614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.264278411865234 × 217)
    floor (0.264278411865234 × 131072)
    floor (34639.5)     		ty = 34639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61614 / 34639 ti = "17/61614/34639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61614/34639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61614 ÷ 217
    61614 ÷ 131072     		x = 0.470077514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34639 ÷ 217
    34639 ÷ 131072     		y = 0.264274597167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470077514648438 × 2 - 1) × π
    -0.059844970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18800852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.264274597167969 × 2 - 1) × π
    0.471450805664062 × 3.1415926535     		Φ = 1.48110638756087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18800852} λ = -0.18800852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48110638756087))-π/2
    2×atan(4.39780867105556)-π/2
    2×1.3472120455378-π/2
    2.6944240910756-1.57079632675     		φ = 1.12362776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18800852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.772095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12362776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.379128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61614 KachelY 34639 -0.18800852 1.12362776 -10.772095 64.379128
    Oben rechts KachelX + 1 61615 KachelY 34639 -0.18796058 1.12362776 -10.769348 64.379128
    Unten links KachelX 61614 KachelY + 1 34640 -0.18800852 1.12360704 -10.772095 64.377941
    Unten rechts KachelX + 1 61615 KachelY + 1 34640 -0.18796058 1.12360704 -10.769348 64.377941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12362776-1.12360704) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dl = 132.007119999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12362776-1.12360704) × R
    2.07199999999741e-05 × 6371000     		dr = 132.007119999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18800852--0.18796058) × cos(1.12362776) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432414238131604 × 6371000     		do = 132.070438667948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18800852--0.18796058) × cos(1.12360704) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.432432920746171 × 6371000     		du = 132.076144819327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12362776)-sin(1.12360704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432414238131604-0.432432920746171)×R²
    abs(-0.18796058--0.18800852)×1.86826145676111e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.86826145676111e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.86826145676111e-05×40589641000000     		ar = 17434.614872504m²