Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61613 / 77413
↖ ↑ ↗
← S 30.989383°
W 10.774841°		 ← 261.83 m → S 30.989383°
W 10.772095°		 →
↑
261.78 m
↓
↑
261.78 m
↓
S 30.991737°
W 10.774841°		 ← 261.82 m →
68 542 m²		 S 30.991737°
W 10.772095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470073699951172 y=0.590618133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470073699951172 × 217)
    floor (0.470073699951172 × 131072)
    floor (61613.5)     		tx = 61613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590618133544922 × 217)
    floor (0.590618133544922 × 131072)
    floor (77413.5)     		ty = 77413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61613 / 77413 ti = "17/61613/77413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61613/77413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61613 ÷ 217
    61613 ÷ 131072     		x = 0.470069885253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77413 ÷ 217
    77413 ÷ 131072     		y = 0.590614318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470069885253906 × 2 - 1) × π
    -0.0598602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.18805646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590614318847656 × 2 - 1) × π
    -0.181228637695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.569346556787407
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18805646} λ = -0.18805646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569346556787407))-π/2
    2×atan(0.565895098221603)-π/2
    2×0.514964784234979-π/2
    1.02992956846996-1.57079632675     		φ = -0.54086676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18805646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.774841°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54086676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.989383°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61613 KachelY 77413 -0.18805646 -0.54086676 -10.774841 -30.989383
    Oben rechts KachelX + 1 61614 KachelY 77413 -0.18800852 -0.54086676 -10.772095 -30.989383
    Unten links KachelX 61613 KachelY + 1 77414 -0.18805646 -0.54090785 -10.774841 -30.991737
    Unten rechts KachelX + 1 61614 KachelY + 1 77414 -0.18800852 -0.54090785 -10.772095 -30.991737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54086676--0.54090785) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dl = 261.784389999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54086676--0.54090785) × R
    4.10899999999659e-05 × 6371000     		dr = 261.784389999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18805646--0.18800852) × cos(-0.54086676) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857262726720874 × 6371000     		do = 261.830102683121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18805646--0.18800852) × cos(-0.54090785) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.857241569609788 × 6371000     		du = 261.823640756811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54086676)-sin(-0.54090785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857262726720874-0.857241569609788)×R²
    abs(-0.18800852--0.18805646)×2.11571110867448e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.11571110867448e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.11571110867448e-05×40589641000000     		ar = 68542.1879085016m²