Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61613 / 12585
↖ ↑ ↗
← N 73.564185°
E158.450317°		 ← 172.82 m → N 73.564185°
E158.455810°		 →
↑
172.85 m
↓
↑
172.85 m
↓
N 73.562631°
E158.450317°		 ← 172.83 m →
29 872 m²		 N 73.562631°
E158.455810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940147399902344 y=0.192039489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940147399902344 × 216)
    floor (0.940147399902344 × 65536)
    floor (61613.5)     		tx = 61613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.192039489746094 × 216)
    floor (0.192039489746094 × 65536)
    floor (12585.5)     		ty = 12585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61613 / 12585 ti = "16/61613/12585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61613/12585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61613 ÷ 216
    61613 ÷ 65536     		x = 0.940139770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12585 ÷ 216
    12585 ÷ 65536     		y = 0.192031860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940139770507812 × 2 - 1) × π
    0.880279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.76547974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.192031860351562 × 2 - 1) × π
    0.615936279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93502089006319
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76547974} λ = 2.76547974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93502089006319))-π/2
    2×atan(6.92418870060692)-π/2
    2×1.42736678218159-π/2
    2.85473356436318-1.57079632675     		φ = 1.28393724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76547974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.450317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28393724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.564185°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61613 KachelY 12585 2.76547974 1.28393724 158.450317 73.564185
    Oben rechts KachelX + 1 61614 KachelY 12585 2.76557561 1.28393724 158.455810 73.564185
    Unten links KachelX 61613 KachelY + 1 12586 2.76547974 1.28391011 158.450317 73.562631
    Unten rechts KachelX + 1 61614 KachelY + 1 12586 2.76557561 1.28391011 158.455810 73.562631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28393724-1.28391011) × R
    2.71299999998753e-05 × 6371000     		dl = 172.845229999206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28393724-1.28391011) × R
    2.71299999998753e-05 × 6371000     		dr = 172.845229999206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76547974-2.76557561) × cos(1.28393724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282941058705046 × 6371000     		do = 172.81693828789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76547974-2.76557561) × cos(1.28391011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.282967079995822 × 6371000     		du = 172.832831774056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28393724)-sin(1.28391011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282941058705046-0.282967079995822)×R²
    abs(2.76557561-2.76547974)×2.60212907763901e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.60212907763901e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.60212907763901e-05×40589641000000     		ar = 29871.9570044692m²