Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61612 / 76567
↖ ↑ ↗
← S 28.976909°
W 10.777588°		 ← 267.14 m → S 28.976909°
W 10.774841°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.979312°
W 10.777588°		 ← 267.13 m →
71 378 m²		 S 28.979312°
W 10.774841°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470066070556641 y=0.584163665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470066070556641 × 217)
    floor (0.470066070556641 × 131072)
    floor (61612.5)     		tx = 61612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584163665771484 × 217)
    floor (0.584163665771484 × 131072)
    floor (76567.5)     		ty = 76567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61612 / 76567 ti = "17/61612/76567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61612/76567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61612 ÷ 217
    61612 ÷ 131072     		x = 0.470062255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76567 ÷ 217
    76567 ÷ 131072     		y = 0.584159851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470062255859375 × 2 - 1) × π
    -0.05987548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.18810439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584159851074219 × 2 - 1) × π
    -0.168319702148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.528791939708839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18810439} λ = -0.18810439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528791939708839))-π/2
    2×atan(0.589316469650304)-π/2
    2×0.532526926118631-π/2
    1.06505385223726-1.57079632675     		φ = -0.50574247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18810439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.777588°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50574247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.976909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61612 KachelY 76567 -0.18810439 -0.50574247 -10.777588 -28.976909
    Oben rechts KachelX + 1 61613 KachelY 76567 -0.18805646 -0.50574247 -10.774841 -28.976909
    Unten links KachelX 61612 KachelY + 1 76568 -0.18810439 -0.50578441 -10.777588 -28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 61613 KachelY + 1 76568 -0.18805646 -0.50578441 -10.774841 -28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50574247--0.50578441) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50574247--0.50578441) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18810439--0.18805646) × cos(-0.50574247) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874815020723914 × 6371000     		do = 267.135290602755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18810439--0.18805646) × cos(-0.50578441) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 267.129085982187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50574247)-sin(-0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874815020723914-0.874794701823858)×R²
    abs(-0.18805646--0.18810439)×2.03189000556048e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.03189000556048e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.03189000556048e-05×40589641000000     		ar = 71377.6512676935m²