Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 61609 / 40520
↖ ↑ ↗
← N 56.450349°
W 10.785827°		 ← 168.76 m → N 56.450349°
W 10.783081°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.448831°
W 10.785827°		 ← 168.77 m →
28 482 m²		 N 56.448831°
W 10.783081°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470043182373047 y=0.309146881103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470043182373047 × 217)
    floor (0.470043182373047 × 131072)
    floor (61609.5)     		tx = 61609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309146881103516 × 217)
    floor (0.309146881103516 × 131072)
    floor (40520.5)     		ty = 40520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61609 / 40520 ti = "17/61609/40520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61609/40520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61609 ÷ 217
    61609 ÷ 131072     		x = 0.470039367675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40520 ÷ 217
    40520 ÷ 131072     		y = 0.30914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470039367675781 × 2 - 1) × π
    -0.0599212646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18824820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30914306640625 × 2 - 1) × π
    0.3817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.19918948089532
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18824820} λ = -0.18824820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19918948089532))-π/2
    2×atan(3.31742699480716)-π/2
    2×1.27802039061858-π/2
    2.55604078123717-1.57079632675     		φ = 0.98524445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18824820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.785827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98524445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.450349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61609 KachelY 40520 -0.18824820 0.98524445 -10.785827 56.450349
    Oben rechts KachelX + 1 61610 KachelY 40520 -0.18820027 0.98524445 -10.783081 56.450349
    Unten links KachelX 61609 KachelY + 1 40521 -0.18824820 0.98521796 -10.785827 56.448831
    Unten rechts KachelX + 1 61610 KachelY + 1 40521 -0.18820027 0.98521796 -10.783081 56.448831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98524445-0.98521796) × R
    2.64900000001012e-05 × 6371000     		dl = 168.767790000644m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98524445-0.98521796) × R
    2.64900000001012e-05 × 6371000     		dr = 168.767790000644m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18824820--0.18820027) × cos(0.98524445) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.55265940456957 × 6371000     		do = 168.761197677961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18824820--0.18820027) × cos(0.98521796) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.552681481332732 × 6371000     		du = 168.767939083176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98524445)-sin(0.98521796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55265940456957-0.552681481332732)×R²
    abs(-0.18820027--0.18824820)×2.20767631615715e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.20767631615715e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.20767631615715e-05×40589641000000     		ar = 28482.0232375217m²