Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 61609 / 12568
↖ ↑ ↗
← N 73.590586°
E158.428345°		 ← 172.56 m → N 73.590586°
E158.433838°		 →
↑
172.59 m
↓
↑
172.59 m
↓
N 73.589034°
E158.428345°		 ← 172.58 m →
29 784 m²		 N 73.589034°
E158.433838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.940086364746094 y=0.191780090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.940086364746094 × 216)
    floor (0.940086364746094 × 65536)
    floor (61609.5)     		tx = 61609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.191780090332031 × 216)
    floor (0.191780090332031 × 65536)
    floor (12568.5)     		ty = 12568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 61609 / 12568 ti = "16/61609/12568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/61609/12568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61609 ÷ 216
    61609 ÷ 65536     		x = 0.940078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12568 ÷ 216
    12568 ÷ 65536     		y = 0.1917724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.940078735351562 × 2 - 1) × π
    0.880157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.76509624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1917724609375 × 2 - 1) × π
    0.616455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.93665074465027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.76509624} λ = 2.76509624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93665074465027))-π/2
    2×atan(6.9354833231183)-π/2
    2×1.42759717843564-π/2
    2.85519435687128-1.57079632675     		φ = 1.28439803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.76509624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 158.428345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28439803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.590586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61609 KachelY 12568 2.76509624 1.28439803 158.428345 73.590586
    Oben rechts KachelX + 1 61610 KachelY 12568 2.76519212 1.28439803 158.433838 73.590586
    Unten links KachelX 61609 KachelY + 1 12569 2.76509624 1.28437094 158.428345 73.589034
    Unten rechts KachelX + 1 61610 KachelY + 1 12569 2.76519212 1.28437094 158.433838 73.589034
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28439803-1.28437094) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dl = 172.59038999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28439803-1.28437094) × R
    2.70899999998964e-05 × 6371000     		dr = 172.59038999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.76509624-2.76519212) × cos(1.28439803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.282499067806856 × 6371000     		do = 172.564973668325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.76509624-2.76519212) × cos(1.28437094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.282525054261748 × 6371000     		du = 172.580847532756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28439803)-sin(1.28437094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.282499067806856-0.282525054261748)×R²
    abs(2.76519212-2.76509624)×2.59864548918798e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.59864548918798e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.59864548918798e-05×40589641000000     		ar = 29784.425945884m²