Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 61608 / 40521
↖ ↑ ↗
← N 56.448831°
W 10.788574°		 ← 168.80 m → N 56.448831°
W 10.785827°		 →
↑
168.77 m
↓
↑
168.77 m
↓
N 56.447313°
W 10.788574°		 ← 168.81 m →
28 489 m²		 N 56.447313°
W 10.785827°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 61608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.470035552978516 y=0.309154510498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.470035552978516 × 217)
    floor (0.470035552978516 × 131072)
    floor (61608.5)     		tx = 61608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.309154510498047 × 217)
    floor (0.309154510498047 × 131072)
    floor (40521.5)     		ty = 40521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 61608 / 40521 ti = "17/61608/40521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/61608/40521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 61608 ÷ 217
    61608 ÷ 131072     		x = 0.47003173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40521 ÷ 217
    40521 ÷ 131072     		y = 0.309150695800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47003173828125 × 2 - 1) × π
    -0.0599365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18829614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309150695800781 × 2 - 1) × π
    0.381698608398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.1991415439957
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18829614} λ = -0.18829614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1991415439957))-π/2
    2×atan(3.31726797145389)-π/2
    2×1.27800714396487-π/2
    2.55601428792973-1.57079632675     		φ = 0.98521796
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18829614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.788574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98521796 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.448831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 61608 KachelY 40521 -0.18829614 0.98521796 -10.788574 56.448831
    Oben rechts KachelX + 1 61609 KachelY 40521 -0.18824820 0.98521796 -10.785827 56.448831
    Unten links KachelX 61608 KachelY + 1 40522 -0.18829614 0.98519147 -10.788574 56.447313
    Unten rechts KachelX + 1 61609 KachelY + 1 40522 -0.18824820 0.98519147 -10.785827 56.447313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98521796-0.98519147) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dl = 168.767789999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98521796-0.98519147) × R
    2.64899999999901e-05 × 6371000     		dr = 168.767789999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18829614--0.18824820) × cos(0.98521796) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552681481332732 × 6371000     		do = 168.803150420333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18829614--0.18824820) × cos(0.98519147) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.552703557708065 × 6371000     		du = 168.809893113606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98521796)-sin(0.98519147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552681481332732-0.552703557708065)×R²
    abs(-0.18824820--0.18829614)×2.20763753336906e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.20763753336906e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.20763753336906e-05×40589641000000     		ar = 28489.1036180314m²